线性代数高手请进，请教一道大一的基本题。

[ten]

三个向量，问他们是不是线性相关。 三个向量分别是第一列，第二列，第三列，

1 0 1 0
0 1 1 0
-1 2 3 0

加上第四列的零以后得三行四列的矩阵，变换以后看是不是有非零解，

结论是只有零解，所以线性无关。

我的问题是，有人这么做，大家帮忙看看对不对。

如果前三行三列的那个矩阵的determinant为零，则线性相关，否则就是无关，

请问有没有这个说法？多谢！

 

[lifeisfun]

三个向量，问他们是不是线性相关。 三个向量分别是第一列，第二列，第三列，



1 0 1 0

0 1 1 0

-1 2 3 0



加上第四列的零以后得三行四列的矩阵，变换以后看是不是有非零解，



结论是只有零解，所以线性无关。



我的问题是，有人这么做，大家帮忙看看对不对。



如果前三行三列的那个矩阵的determinant为零，则线性相关，否则就是无关，



请问有没有这个说法？多谢！

Yes. Assuming the column of the matrix is a1,a2,a3, to prove them 线性相关 is to find a non-zero vector k=[k1 k2 k3], such that k1*a1+k2*a2+k3*a3=0, which can be written as A*k=0. If the determinant of matrix is not 0, then yon can do the inverse of this matrix, which will lead to k=0, that proves it is 线性无关. Otherwise, it is 线性相关

 

[ten]

If the determinant of matrix is not 0, then yon can do the inverse of this matrix, which will lead to k=0, that proves it is 线性无关. Otherwise, it is 线性相关

前半句我理解了，没问题。

后半句，如果determinant是零的话，只能说明找不到逆矩阵，如何证明线性相关呢？

 

[lifeisfun]

If the determinant of matrix is not 0, then yon can do the inverse of this matrix, which will lead to k=0, that proves it is 线性无关. Otherwise, it is 线性相关



前半句我理解了，没问题。



后半句，如果determinant是零的话，只能说明找不到逆矩阵，如何证明线性相关呢？

It is a bit difficult to prove here. May be some folk could provide a simple proof or you could find it in a book. In anyhow, if det(A)=0, then k is non-zero.

 

[ten]

懂了，多谢，

 

[cvictor]

需要直观的了解，什么是线性相关。三个向量，可以对应三条线（平面）。如果都不平行，就不相关，就有一个唯一的交点。
如果那怕其中两条平行，就是线性相关，即，没有唯一的交点。

那三个向量的后面的第四列元素都是0，就可以对应是XYZ三维中的三个平面。如，
x + z = 0; y + z = 0; -x + 2y + 3z =0;
而且用三行三列的D就可以判定相关性，即有无唯一的交点。