数学、爱情与天才
蓝极
一提起数学这两个字，可能绝大多数人都会有皱眉头的冲动。我想，一方面这是灌
输教育导致的结果，同时学科的精分细化也使得数学如同其它兄弟学科一样，游戏
趣味性的部分被淹没在不断生长的知识之树上无限伸延的藤蔓枝叶之中，无法发出
本是耀眼的光芒。更何况社会职业分化的精细使得绝大多数人并不一定需要在生活
中直接面对或涉及到过多的数学。在日常生活中忙碌或闲逛的驻足间隙，如果转移
视线或者拨开临近的藤蔓枝叶，也许还是能瞥到一些天空的蔚蓝或草地的翠绿。
从前每当有人问数学是什么的时候，我总是倾向于将其比作用科学来把握世界的一
门有用语言，就像中国各地的人用普通话作为通用口语一样。可能很多欣赏数学美
或将数学当作艺术的人会反对我的“语言”比拟，他们更愿意将数学的天空视着纯
净完美与和谐的象征，是抽象的极致。哈代(Godfrey Harold Hardy)干脆就认为，
如果数学有什么存在理由的话，那就只能是作为艺术而存在。
如果你理解下面这一大堆符号，并知道这个以数学王子(matematikens konung)
高斯(Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)的名字命名的数学表达式的确切涵义
以及答案的话，你至少是比较厉害的主儿了：。
当年上学的时候还能为了考试哼哧哼哧地证明一下，现在早已忘得一干二净了。
其实，这个表达式与日常生活中无数具有统计描述的群体特征有着紧密的联系，
比如个体身高、体重、血压、肺活量等生理特点，个人收入等财政状况，对某一事
件从保守到激进的观念等等的分布特点，都可以用这个所谓的正态分布或钟形曲线
来近似刻划。
不用说从科学的各个领域到工程学以及市场预测决策分析，已有300多年历史的微
积分发挥着威力，就是诸如象厨房里的烹调用瓶也有着微积分划过的痕迹。为了
使得从瓶子里倾倒之后残留在口子处的液体(食用油、酱油、醋等)自动回流到瓶内
而不是瓶外，口子处的双曲面设计就不是简单的学问，虽然厨师们完全可以不用去
思索其中的奥妙。
如果你觉得这些也不过如此而已，那我们再看看数学除了对瓶瓶罐罐有所贡献之外，
还能对生活的主要调料--爱情的动力--说点什么吧。
以前在“闲谈Sonnet”中提及的十四行诗始作佣者Francesco Petrarca (1304-1374)，
在23岁时的1327年耶稣受难节里遇到一个19岁美丽的已婚女子，法国Avignon的Laura。
最后他也没有能够获得Laura的芳心，虽然这正好符合有些强调生活意义在于过程而
不是结果的看法，可是想想那是平均每20天就写一首诗并坚持20余年的钟情，也会
让人咂舌赞叹不已。要是搁我身上，我也会心有余而力不足啊。
Petrarch的诗歌里的情绪表达着从欣喜若狂到极度绝望的宽阔频谱。但由于他的诗
集不是按时间编排，过去的几百年里学者们为其中的顺序伤透了脑筋。有一个在
University of Wales的意大利研究学者Frederic J. Jones猜测Petrarch的感情或
许遵循某种周期性的循环。他从那些写作日期已知的诗歌中，将情绪数值化，按照
从疯狂的爱(+1)到深渊般的绝望(-1)进行排序，中间穿插从1到-1之间的赋值：一般
的激情、宁静的情爱、简单的友谊、轻度的忧郁、苦闷不已。Jones发现Petrarch在
21年间经历了6次情绪上的迭荡起伏，于是他依此鉴定出Petrarch所有写作日期未知
的诗歌的年代并排出顺序。
受此启发，意大利Politecnico de Milano的一个数学家Sergio Rinaldi用三个变量
的微分方程来描绘Petrarch与Laura的情感起伏，用一句带有数学诗意的话来说就是：
诗歌的灵感是诗人对爱人激情的指数加权积分。Rinaldi通过感觉Petrarch的诗集
Canzoniere中每首诗歌的情绪对几个参数赋值，然后解出微分方程，最后得出与
Jones的分析相符的结论。
几年前念书的时候，Steven H. Strogatz离开实验室不久，但我还有机会欣赏一个
他更为简洁的示范例子。他用仅有两个参数的双变量微分方程，说明罗米欧(Romeo)
与朱丽叶(Juliet) 的爱情悲剧。他们之间的感情模式可以归结为，朱丽叶爱上罗米欧，
但他却不幸是个花花公子，情感变化无常。朱丽叶越是追他，他就越不喜欢她。但
当她真正离开罗米欧的时候，他倒来劲，开始回心转意了。于是朱丽叶又受到感动，
从而她的情感J(t)随着他的热度R(t)而跟从但滞后地在时间t上起伏：
dR(t)/dt = aJ(t)
dJ(t)/dt = - bR(t)
这里a, b > 0。这场爱恨交织起伏的情感悲剧可以从下面的曲线--上述方程的解--
体现出来。如果将罗米欧对朱丽叶的爱情设定为蓝色，而朱丽叶的感情呈现粉色，
那么你击点下面的Start按钮，可以看到悲剧就在于，他们只有四分之一的时间可以
算是有所互爱：
<center> <applet code=m100.demos.week9.Halloween.class width=500 height = 300 codebase=http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/java/>
</applet> </center>
跌入以及曾经涉过爱河的人们，不知道如此定性的描述是否有deja vu的感受？
这个例子还可以推广一下。如果改变方程中参数a, b的符号，还可以在一般意义
下继续用爱情动力学探讨任何两个情人在不同性格模式下的情感发展特征。
其实，也用不着非要在大学的微积分教材中去欣赏那些数学天才的灵感，也大可不
必非要去引牛顿、爱因斯坦之类的名人。如果将时间和空间的焦距拉回到两千多年
前的地中海边，我们仍然要为诞生在那里的杰出灵思而惊叹。
萨摩斯(Samos)，一个在Asian Minor(现在土耳其的小亚细亚部份)位于以弗斯
(Ephesus)和Miletus之间的海边一两公里外的小岛。只需要想像湛蓝色的大海，白
色而细腻的沙滩，拂过脸颊的柔和微风，恐怕就足以吸引人了。漫步在充满鲜花的
狭窄街道上，走过那些酒家、咖啡店以及港口处的各种游艇和土耳其风格的狭长划
艇(caiques)，可能会有远离尘嚣恬适自在的浪漫之感。
那时候以弗斯是古希腊在小亚细亚西岸的一个重要的贸易城市，而萨摩斯是希腊神
话中天母(Queen of Heaven)赫拉(Hera)--宙斯(Zeus)的法定妻子--的崇拜中心。在
萨摩斯岛南端的港口处，有一个曾经叫Tigani的村庄，也是暴君Polycrates主政岛上
时期的首府。那个时期，萨摩斯已经成为爱琴(Aegean)海上的一个著名王国。
如果仅仅是这些，萨摩斯倒也没有什么神奇的地方。问题是，大约在580 B. C. 的
时候，村子里诞生了一个天才毕达哥拉斯(Pythagoras)。在罗马时期之后该岛又在
1566年被土耳其占领并成为海盗之窝，1912年又重新变成希腊的一部分。1955年为
纪念毕达哥拉斯，改称Pythagoreio，如今是一个拥有1500人的由历史和现代交融的
旅游圣地。由于岛上有北约的军事敏感地带，Carl Sagan在20世纪70年代末期拍摄
Comos时为了拍摄一些有关毕达哥拉斯的事迹，费了不少功夫才获得允许，不知道
现在是否能够自由漫步于当年天才出没的地方？
不说毕达哥拉斯当初以数字来作为对自然界的把握，以及对弦的整数分割与音乐(声
音)的关系，还有天体的运转也应该符合音乐的比例等想法与贡献，就说毕达哥拉斯
定理吧。可能谁都知道，那个定理就是直角三角形斜边的平方为两个直角边的平方
之和。问题是，不知道今天有多少人能够不加思索立即证明出来。
古代巴比伦人和5000多年前的埃及人也知道这一定理的特例。在“周髀算经”里记
载了西周开国时期(约公元前1000年)的商高说过“勾三股四弦五”，因此中国人一
直自豪地称为勾股定理或商高定理。但真正在现代数学意义上的逻辑证明还得归功
于毕达哥拉斯杰出的手笔。当朋友过生日时，因为闲着无聊，毕达哥拉斯在朋友家
地上铺的花砖图案上闹着玩，结果一不小心就名垂青史：证明了后来一般所称的毕
达哥拉斯定理。
他的证明相当于挪动几块瓦片，而不是现在标准课本上的方法，或者用稍微文雅一
点的方式，就是可以用剪刀剪出几个直角三角形在桌子上拼图证明之。当年我初次
听说毕达哥拉斯定理的拼图证明方法时，也试图在海边沙滩上重演天才的思路，将
几块瓦片拼了又拼，凑了又凑，也没有闪现一丝他当年的灵感。
据说毕达哥拉斯定理是数学中最重要的单个定理。这样说恐怕很多人要反对，但持该
论断的人的理由是，毕达哥拉斯建立了我们生活其中的活动空间的特征，用数字来
刻划空间--视觉世界--的关系，从而为两千年后那个高喊“我思，故我在”的笛卡尔
(Rene Descartes, 1596-1650)在直角坐标系下将二维平面划分成四单元奠定了基础，
实现从数字向几何的演变：四个对称的直角即回到原位。
于是不难理解，当毕达哥拉斯完成证明后，用100头牛献给缪斯女神们(Muses)来感
激他接受到的灵感，以及对自然界中蕴藏着的数字关系的敬畏，后来还演变到对豆
子的崇拜。传说毕达哥拉斯本人也因为崇拜豆子─死去亲人的灵魂的承载者─最终
在逃亡中不愿践踏豆地而被暴众杀害。因此，天才离开世界的方式也是独特超群的。
蓝极
一提起数学这两个字，可能绝大多数人都会有皱眉头的冲动。我想，一方面这是灌
输教育导致的结果，同时学科的精分细化也使得数学如同其它兄弟学科一样，游戏
趣味性的部分被淹没在不断生长的知识之树上无限伸延的藤蔓枝叶之中，无法发出
本是耀眼的光芒。更何况社会职业分化的精细使得绝大多数人并不一定需要在生活
中直接面对或涉及到过多的数学。在日常生活中忙碌或闲逛的驻足间隙，如果转移
视线或者拨开临近的藤蔓枝叶，也许还是能瞥到一些天空的蔚蓝或草地的翠绿。
从前每当有人问数学是什么的时候，我总是倾向于将其比作用科学来把握世界的一
门有用语言，就像中国各地的人用普通话作为通用口语一样。可能很多欣赏数学美
或将数学当作艺术的人会反对我的“语言”比拟，他们更愿意将数学的天空视着纯
净完美与和谐的象征，是抽象的极致。哈代(Godfrey Harold Hardy)干脆就认为，
如果数学有什么存在理由的话，那就只能是作为艺术而存在。
如果你理解下面这一大堆符号，并知道这个以数学王子(matematikens konung)
高斯(Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)的名字命名的数学表达式的确切涵义
以及答案的话，你至少是比较厉害的主儿了：。
当年上学的时候还能为了考试哼哧哼哧地证明一下，现在早已忘得一干二净了。
其实，这个表达式与日常生活中无数具有统计描述的群体特征有着紧密的联系，
比如个体身高、体重、血压、肺活量等生理特点，个人收入等财政状况，对某一事
件从保守到激进的观念等等的分布特点，都可以用这个所谓的正态分布或钟形曲线
来近似刻划。
不用说从科学的各个领域到工程学以及市场预测决策分析，已有300多年历史的微
积分发挥着威力，就是诸如象厨房里的烹调用瓶也有着微积分划过的痕迹。为了
使得从瓶子里倾倒之后残留在口子处的液体(食用油、酱油、醋等)自动回流到瓶内
而不是瓶外，口子处的双曲面设计就不是简单的学问，虽然厨师们完全可以不用去
思索其中的奥妙。
如果你觉得这些也不过如此而已，那我们再看看数学除了对瓶瓶罐罐有所贡献之外，
还能对生活的主要调料--爱情的动力--说点什么吧。
以前在“闲谈Sonnet”中提及的十四行诗始作佣者Francesco Petrarca (1304-1374)，
在23岁时的1327年耶稣受难节里遇到一个19岁美丽的已婚女子，法国Avignon的Laura。
最后他也没有能够获得Laura的芳心，虽然这正好符合有些强调生活意义在于过程而
不是结果的看法，可是想想那是平均每20天就写一首诗并坚持20余年的钟情，也会
让人咂舌赞叹不已。要是搁我身上，我也会心有余而力不足啊。
Petrarch的诗歌里的情绪表达着从欣喜若狂到极度绝望的宽阔频谱。但由于他的诗
集不是按时间编排，过去的几百年里学者们为其中的顺序伤透了脑筋。有一个在
University of Wales的意大利研究学者Frederic J. Jones猜测Petrarch的感情或
许遵循某种周期性的循环。他从那些写作日期已知的诗歌中，将情绪数值化，按照
从疯狂的爱(+1)到深渊般的绝望(-1)进行排序，中间穿插从1到-1之间的赋值：一般
的激情、宁静的情爱、简单的友谊、轻度的忧郁、苦闷不已。Jones发现Petrarch在
21年间经历了6次情绪上的迭荡起伏，于是他依此鉴定出Petrarch所有写作日期未知
的诗歌的年代并排出顺序。
受此启发，意大利Politecnico de Milano的一个数学家Sergio Rinaldi用三个变量
的微分方程来描绘Petrarch与Laura的情感起伏，用一句带有数学诗意的话来说就是：
诗歌的灵感是诗人对爱人激情的指数加权积分。Rinaldi通过感觉Petrarch的诗集
Canzoniere中每首诗歌的情绪对几个参数赋值，然后解出微分方程，最后得出与
Jones的分析相符的结论。
几年前念书的时候，Steven H. Strogatz离开实验室不久，但我还有机会欣赏一个
他更为简洁的示范例子。他用仅有两个参数的双变量微分方程，说明罗米欧(Romeo)
与朱丽叶(Juliet) 的爱情悲剧。他们之间的感情模式可以归结为，朱丽叶爱上罗米欧，
但他却不幸是个花花公子，情感变化无常。朱丽叶越是追他，他就越不喜欢她。但
当她真正离开罗米欧的时候，他倒来劲，开始回心转意了。于是朱丽叶又受到感动，
从而她的情感J(t)随着他的热度R(t)而跟从但滞后地在时间t上起伏：
dR(t)/dt = aJ(t)
dJ(t)/dt = - bR(t)
这里a, b > 0。这场爱恨交织起伏的情感悲剧可以从下面的曲线--上述方程的解--
体现出来。如果将罗米欧对朱丽叶的爱情设定为蓝色，而朱丽叶的感情呈现粉色，
那么你击点下面的Start按钮，可以看到悲剧就在于，他们只有四分之一的时间可以
算是有所互爱：
<center> <applet code=m100.demos.week9.Halloween.class width=500 height = 300 codebase=http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/java/>
跌入以及曾经涉过爱河的人们，不知道如此定性的描述是否有deja vu的感受？
这个例子还可以推广一下。如果改变方程中参数a, b的符号，还可以在一般意义
下继续用爱情动力学探讨任何两个情人在不同性格模式下的情感发展特征。
其实，也用不着非要在大学的微积分教材中去欣赏那些数学天才的灵感，也大可不
必非要去引牛顿、爱因斯坦之类的名人。如果将时间和空间的焦距拉回到两千多年
前的地中海边，我们仍然要为诞生在那里的杰出灵思而惊叹。
萨摩斯(Samos)，一个在Asian Minor(现在土耳其的小亚细亚部份)位于以弗斯
(Ephesus)和Miletus之间的海边一两公里外的小岛。只需要想像湛蓝色的大海，白
色而细腻的沙滩，拂过脸颊的柔和微风，恐怕就足以吸引人了。漫步在充满鲜花的
狭窄街道上，走过那些酒家、咖啡店以及港口处的各种游艇和土耳其风格的狭长划
艇(caiques)，可能会有远离尘嚣恬适自在的浪漫之感。
那时候以弗斯是古希腊在小亚细亚西岸的一个重要的贸易城市，而萨摩斯是希腊神
话中天母(Queen of Heaven)赫拉(Hera)--宙斯(Zeus)的法定妻子--的崇拜中心。在
萨摩斯岛南端的港口处，有一个曾经叫Tigani的村庄，也是暴君Polycrates主政岛上
时期的首府。那个时期，萨摩斯已经成为爱琴(Aegean)海上的一个著名王国。
如果仅仅是这些，萨摩斯倒也没有什么神奇的地方。问题是，大约在580 B. C. 的
时候，村子里诞生了一个天才毕达哥拉斯(Pythagoras)。在罗马时期之后该岛又在
1566年被土耳其占领并成为海盗之窝，1912年又重新变成希腊的一部分。1955年为
纪念毕达哥拉斯，改称Pythagoreio，如今是一个拥有1500人的由历史和现代交融的
旅游圣地。由于岛上有北约的军事敏感地带，Carl Sagan在20世纪70年代末期拍摄
Comos时为了拍摄一些有关毕达哥拉斯的事迹，费了不少功夫才获得允许，不知道
现在是否能够自由漫步于当年天才出没的地方？
不说毕达哥拉斯当初以数字来作为对自然界的把握，以及对弦的整数分割与音乐(声
音)的关系，还有天体的运转也应该符合音乐的比例等想法与贡献，就说毕达哥拉斯
定理吧。可能谁都知道，那个定理就是直角三角形斜边的平方为两个直角边的平方
之和。问题是，不知道今天有多少人能够不加思索立即证明出来。
古代巴比伦人和5000多年前的埃及人也知道这一定理的特例。在“周髀算经”里记
载了西周开国时期(约公元前1000年)的商高说过“勾三股四弦五”，因此中国人一
直自豪地称为勾股定理或商高定理。但真正在现代数学意义上的逻辑证明还得归功
于毕达哥拉斯杰出的手笔。当朋友过生日时，因为闲着无聊，毕达哥拉斯在朋友家
地上铺的花砖图案上闹着玩，结果一不小心就名垂青史：证明了后来一般所称的毕
达哥拉斯定理。
他的证明相当于挪动几块瓦片，而不是现在标准课本上的方法，或者用稍微文雅一
点的方式，就是可以用剪刀剪出几个直角三角形在桌子上拼图证明之。当年我初次
听说毕达哥拉斯定理的拼图证明方法时，也试图在海边沙滩上重演天才的思路，将
几块瓦片拼了又拼，凑了又凑，也没有闪现一丝他当年的灵感。
据说毕达哥拉斯定理是数学中最重要的单个定理。这样说恐怕很多人要反对，但持该
论断的人的理由是，毕达哥拉斯建立了我们生活其中的活动空间的特征，用数字来
刻划空间--视觉世界--的关系，从而为两千年后那个高喊“我思，故我在”的笛卡尔
(Rene Descartes, 1596-1650)在直角坐标系下将二维平面划分成四单元奠定了基础，
实现从数字向几何的演变：四个对称的直角即回到原位。
于是不难理解，当毕达哥拉斯完成证明后，用100头牛献给缪斯女神们(Muses)来感
激他接受到的灵感，以及对自然界中蕴藏着的数字关系的敬畏，后来还演变到对豆
子的崇拜。传说毕达哥拉斯本人也因为崇拜豆子─死去亲人的灵魂的承载者─最终
在逃亡中不愿践踏豆地而被暴众杀害。因此，天才离开世界的方式也是独特超群的。
