一道数学游戏题，概率论高手请进

[Hainiu]

一个布袋内装有分别标为 1 号至 L 号的 L个质地均等的球。现有 M 个人参加游戏， M 小于或等于 L。每位参与者依次从袋中随机地取出一个球，记下球的号码后放回袋中，与其它球混合均匀后再由下一位抓取。所有参与者各取出一个球后，比较各位所取的球的号码。如果某位的号码与其它所有人的号码都不同，即获得奖品；否则没有奖品。

请问：在所有 M 位参与者中，恰好有 k 位获奖者的概率是多少 ?（k 为 0 到 M 的正整数)

 

[月下独酌]

大于等于0

 

[shimh]

Google上也没这道题。

 

[bowvalley]

L!(L-K)!/K!(L-M)!L^M

 

[Hainiu]

L!(L-K)!/K!(L-M)!L^M

请赐教如何推导出来的。

 

[2016]

这道题还真挺难的 ...

 

[bowvalley]

答案对吗？

 

[Hainiu]

L!(L-K)!/K!(L-M)!L^M

有两种情况是比较容易分析的。一种情况是 k=M-1, 也就是说只有一人未中奖，其他人都中奖了。这种情况是不可能出现的，所以概率为零， 即 p(M-1)=0。另外一种情况是 k=M, 也就是说所有人都中奖了。这时的概率是 p(M) = L!/((L-M)! L^M)。你的式子在这两种情况下都不吻合。

其他情况下比较难整，我也不知道正确答案。各位有何高见？

 

[Hainiu]

或许考虑未中奖的人数的概率要好办一点。比如，只有两（或三个）人未中奖的情况，相当于共取出了 M-2 个（或 M-3 个）不同号的球和另一个被取了两次 （或三次）的球。这种情况的概率应该好算的。