数学题

[gdntfrank]

请教一下, BERNOULI TRIAL 中, 预期要做多少次
才能连续获得N个成功?

assume for each trail , the probability of
success is p, failure is q. what is the
mean value of the times of trials to get
n successive successes?

 

[幼年小春]

????sm ?

 

[Caohaoying]

This one should be an already solved problem in stochastic
processes.But I fail to find the result in internet. The only solution I can provide is a recursive solution:
suppose the probability of having m trails to get n suceessive
successes is Pm. Than, the probability of having m+1 trails is:
p^n*q*(1-(Pn+ Pn+1 +.....Pm-n-1))
P^n is the probability of n suceessive sucesses.
q is the probability of have a fail in the m-n position.
the 1-(Pn+Pn+1 +....Pm-n-1) is the probability of not having
n successive sucesses in the first m-n-1 trails.

 

[Caohaoying]

actually it is a k_th order geometric distribution.
Does anyone knows a simple and close form solution?

 

[Aeoliao]

IS IT GALKO TEACH THAT COURSE?

 

[游民]

如果你要解决实际的工程问题，已知p和N,而且比较懒惰，或比较笨，或者既懒又笨象俺一样，你可以用蒙特卡洛法模拟得到结果。看上去象耍无赖，但是工程上耍无赖通常最省力。

如果你要玩纯数学得出公式或想做智力测验，你可以改一下题目以吸引更多的集体智慧。去掉“伯努利”之类让人误以为跟流体力学有关的术语，把这个问题通俗化：抛一枚鲁尼在地上，连着抛看结果，如果连续3次（N=3)字朝上（p=0.5)的时候就算成功,记下抛到成功为止的次数。做若干次实验,平均次数是多少？这么说,连民工乡巴佬都来帮你出馊主意.

这样表述看上去象个排队论或博奕论的问题，其结果通常是个跟Lambda有关的什么狗屁函数，形状往往象个变了形的歪脖子正态曲线。但愿哪个爷们只用简单的概率论就得出公式就漂亮了.

有结论的话告知一声,用N=3和p=0.5的结果是多少.俺的结果是14.027(1000轮)和13.892(10000轮).今天不玩了.明天有空看看曲线是什么样的.

 

[gdntfrank]

其实是在计算BANYAN NETWORK 的BLOCKING POBABILITY是遇到的.
网上有个计算器,填入P,试验次数, 连续成功次数,给出预期的试验
次数.但是结果不够漂亮.

 

[gdntfrank]

最初由 Leo1976 发布
IS IT GALKO TEACH THAT COURSE?

我是TAKE的BANIHASHIMI的.

 

[gdntfrank]

刚想到一种新解法,不知道对不对.以P=0.5, N=3为例.
首先,只考虑以3次为一组的试验,其成功的概率为1/8.
预期需要的次数为GEOMETRIC DISTRIBUTION, 为7次.
其次,研究每一次试验中第一次失败发生的位置.
其组合为:000,001,010,011,100,101,110.
即第一次失败为4/7, 第二次才失败为2/7, 第三次为1/7.
平均失败的位置为1*4/7+2*2/7+3*1/7 = 11/7.
这样,整个试验的平均失败次数为:11/7*7=11次.
回过头看整个试验,其实问题很简单,只要改变试验策略,
答案是一目了然.即每次试验都是连续三次.如果失败,
丢弃第一个失败后的结果,重新做新的三次试验.请注意,
由于每次试验的独立性,丢弃重做并不改变结果产生的
概率.这样问题简单化.变成CONTITIONAL EXPECTATION.

以上仅为想法.是否正确留待高手验证.我不是学数学的.

 

[Aeoliao]

最初由 gdntfrank 发布


我是TAKE的BANIHASHIMI的.

都是杀手

 

[呆呆虫]

去年我上Galko的课考过这题耶！

 

[gdntfrank]

那我的解法对么?不过要在考场上临时想,真不容易.

 

[游民]

最初由 gdntfrank 发布
那我的解法对么?不过要在考场上临时想,真不容易.

原来都是学生.年轻人脑筋就是好.我认为你那11不对

今天想用不偷懒的办法写出公式,只写了一个用无穷级数的表达式,后来发现有错,俺基本上是沿阿曹的思路.其形状大约是:
期望次数 = Sigma(各成功次数*该成功次数出现的概率)
以N=3,P=0.5为例, 平均次数 = 3*1/8 + 4 * 1/16 + 5* 1/16 + 6*1/16 +....(7以后就越来越小)

一下是模拟10000次的结果,让俺吃惊的是形状不是歪脖子,最大值是正好3次,1285(理论值1250).

俺出另外一道题:如果抛10次硬币(阿曹的m=10),出现连续3次字朝上包括两组和三组但不包括连续4次的概率是多少?给出公式!

 

[gdntfrank]

我的11次是失败的次数.要是成功的话是14次呀.和你的计算相符啊.

 

[gdntfrank]

最大值三次很好解释,因为试验独立,做试验的次序不重要,
可以反着做.所有实现都必须先满足三次连续成功.然后还
要满足剩下的不成功.所以3次的概率肯定是最大的.