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数学与哲学
这个问题，听起来似乎很深奥。深奥的问题，一般都不太好理解，也不会很有趣。为了让大家轻松一点，就谈谈一些有趣的数学问题。
在我很小的时候，就听说过一个吸引人的数学名词 --- 黄金分割0.618。当时的解释是说一条线段，如果从0.618的地方断点，那样的位置可以让线段显得很漂亮。还说舞台上表演的时候，固定在地上的话筒一般都是放在黄金分割的位置,这个位置美观，声音传播得也很好。摄影师在拍照片的时候，会把重点内容放在0.618处，那样给人的视觉效果最佳。这么多年过去了，现在对它的理解又是什么样子呢？
关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”。在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在。只是不知这个谜底。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。
为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”，12个“黄金矩形”（长与总长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。（以上三段文字来源于百度百科）
数字0.618为数学家所关注，它的出现解决了许多的数学难题，如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等等。最著名的例子是优选学中的黄金分割法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
优选法在钢铁制造中得到了很好的应用。炼钢时，需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，究竟加入多少呢？有一种方法是在一个可知的范围内，选中间值。但是如果我们选择这个范围内的0.618做实验，那样，16次的黄金分割法就等同于2500次的中间值法得到的结果。节约了很多的时间，事半功倍。
似乎黄金分割被说得有点神乎其神了，在我读一些文字资料的时候，觉得有些内容说得挺玄乎，像是硬往黄金分割上面套似的，比如蒙娜丽莎的脸，埃菲尔铁塔等等。不过话也说回来，0.618 这个黄金值被使用了这样久，为古代和现代人们所广泛采用，一定有它的道理了。不管怎样说,黄金分割的图形, 的确很优美。
有人说数学是美丽的，让我们看看吧 --- 几个黄金分割的图形：
鹦鹉螺的内部结构
符合黄金分割的矩形
国旗
符合黄金分割的照片
印度的泰姬陵
这篇文章里有一些更细节的对黄金分割的解释：http://news.hiapk.com/mobileplat/120808/5929.html
数学上另外一个有趣的问题叫作莫比乌斯圈。有关这个圈的说法是指它只有一个面。怎么理解呢？是这样的，莫比乌斯圈是把一个小纸条，粘成了小圈，按常人理解，一个纸圈，就该有两个面，一正一反。非常令人不能解释的就是，莫比乌斯圈只有一个面，怎样证明它只有一个面。办法很简单，你放一只蚂蚁在上面，当它走回到起始位置时，那只蚂蚁顺着纸圈把两面都走到了，这里面没有玩任何的巧妙，蚂蚁就是走呀走的，两面都走到了。巧妙就在这个纸圈的制作上。在粘纸圈的时候，纸条的一个边转了180度，然后粘在一起了。如图所示：
另外，有一首诗把这个莫比乌斯圈的第二个妙处讲出来了：
数学家断言：
莫比乌斯带只有一边。
如果你不相信，
就请剪开一个验证，
带子分离时候却还是相连。
就是说，当你把它从中间剪开成两半的时候，按照常人的想象，应该是两个纸圈，但这个纸圈，剪开后，却成了一个纸圈！
非常神奇！
另一种玩法，先在一个纸条上画两道间隔相等的平行线，把纸条转360度再粘在一起，照线剪开，就成了3个套在一起的纸圈，很奇妙。如果你只沿中间剪一次，结果又会不同。这样的做法，可以当成魔术表演，给那些小孩子们演示一下，有趣得很。
莫比乌斯圈是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰•李斯丁在1858年独立发现的。（维基百科）
在百度百科里是这样解释的：
数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，莫比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。
莫比乌斯带被用于工业制造。一种根据它的原理而做出的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。
有一座钢制的莫比乌斯带雕塑位于美国华盛顿的史密斯森林历史和技术博物馆。
荷兰建筑师Ben Van Berkel以莫比乌斯带为创作模型设计了著名的莫比乌斯住宅。
在日本漫画《哆啦A梦》中，哆啦A梦有个道具的外观就是莫比乌斯带；在故事中，只要将这个环套在门把上，则外面的人进来之后，看到的仍然是外面。
不知道大家读起来是不是觉得枯燥。
我自己亲身经历的数学问题是这样的：
当年我们刚上高中，班上同学都是学习成绩好的人。我们的数学老师朱老师，估计是看出我们挺骄傲的，就在第一次的立体几何考试中出了一道附加题，题目是这样的：请画出这样三个图形 --- 三个平面两两相交。应该不难，结果我们班上全军覆没，没有一个人能画出三个图形出来。当时毕竟刚刚接触立体几何，什么概念也没有。现在想起来，朱老师用这个办法，达到了两个效果：让大家变得谦虚了，同时建立了自己的威信。朱先生人到中年，身上有一种儒雅，讲话声音不大，话也不多，但是每句话，每个字，都是经过深思熟虑说出来的，经典浓缩。他最爱说的一句话就是说“ 你们不要得意忘形。”这句话里一语双关，这里的“ 形 ”就是指数学的图形。在认识朱老师以后，我见到研究数学的人，心里就有一种莫名的恐慌。一个是学数学很难，特别是那些证明题。数学学得好的人很有一点高深莫测；另外一个就是，我自己感觉，学数学的人，能够看到你在想什么，知道你要做什么，怪吓人的。很多人，包括几个学习成绩非常好的同学，对朱老师是怕的。
多年以后，我才知道，他是我们那座城市最有声望的中学数学教师之一，特别荣幸，他教了我们3年，学了多少的东西啊。还有一次他出了一道一元三次方程的题考我们，只有个别同学做出来了。当时的方法是靠猜。他的这个办法，实际上是在培养我们灵活处理问题的能力。更多的，他喜欢用一些特别简单的顺口溜把数学上那些难记的公式总结出来，大大地减轻了我们记忆数学公式的任务。他说，这些公式，容易混淆，有时候你在考试的时候，心里一慌，瞬间就想不起来了。顺口溜，你们很难忘记。他也说过一句耐人寻味的话: 你们将来长大工作了，如果做得好，就说是我朱某的学生；如果将来做得不好，千万不要提我。这句话听起来我会有很多的想法。
现在我在网上还可以查到他的事情，朱老师都70多岁了。多少的往事，一遍一遍在脑海里出现。
有关数学的话题还有《许纯舫的初等几何四种》--- 在一次跳级的考试中，帮了我很大的忙。吉米多维奇 --- DDL在《老莫的生日》里首次提起，感到特别亲切，中国的数学家华罗庚--- 有关运筹学，等等。
有些复杂一点的，比如高等数学，在现实生活里我用过一次。来加拿大以后，我在学校里读书，和一个学外语的同学逛商店。当时我们都想买一个饭盒装饭。商店里那么多品种，买什么样的好？我就想起在中国学习的高等数学有关极值的问题，我的要求是要占地方少，又能装足够多的饭，因为上学的时候老觉得饿。转变成数学问题就是：在同样的容积下，哪一种形状占的体积最小。我们看了很多，最终找到了一种类似长方体有点高的饭盒占用的体积最小，比扁的，圆的，高的都要好。我的那个学外语的女同学算是服了我，我们俩都特别高兴买到了理想的饭盒。
在高等数学里，我感到比较难的是流体力学和复变函数，学的时候真是莫名其妙。流体力学当时被我们称为留级力学，难度很大，我们学的时候已经不考试了，只是做作业来打分。也许我的悟性太低，一时半会体会不了其中的妙处。复变函数我是一点也记不起来了，不知道有谁能帮助我回忆一下。
数学在我们的生活里特别管用，非常可惜的就是，在加拿大，人们不重视它，数学好的人，真的是凤毛麟角；研究过数学的人，是相当聪明的，他们的逻辑，判断，推理能力都很强。我们的小孩子，应该鼓励他们学好数学，特别是那些难一点的内容，很有用，可以作为他们的一技之长，对他们的一生，以至于工作，都有好处。
数学的问题，咱们就谈到这里了，希望各位没有感到枯燥。（待续）
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数学与哲学
这个问题，听起来似乎很深奥。深奥的问题，一般都不太好理解，也不会很有趣。为了让大家轻松一点，就谈谈一些有趣的数学问题。
在我很小的时候，就听说过一个吸引人的数学名词 --- 黄金分割0.618。当时的解释是说一条线段，如果从0.618的地方断点，那样的位置可以让线段显得很漂亮。还说舞台上表演的时候，固定在地上的话筒一般都是放在黄金分割的位置,这个位置美观，声音传播得也很好。摄影师在拍照片的时候，会把重点内容放在0.618处，那样给人的视觉效果最佳。这么多年过去了，现在对它的理解又是什么样子呢？
关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”。在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在。只是不知这个谜底。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。
为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”，12个“黄金矩形”（长与总长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。（以上三段文字来源于百度百科）
数字0.618为数学家所关注，它的出现解决了许多的数学难题，如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等等。最著名的例子是优选学中的黄金分割法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
优选法在钢铁制造中得到了很好的应用。炼钢时，需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，究竟加入多少呢？有一种方法是在一个可知的范围内，选中间值。但是如果我们选择这个范围内的0.618做实验，那样，16次的黄金分割法就等同于2500次的中间值法得到的结果。节约了很多的时间，事半功倍。
似乎黄金分割被说得有点神乎其神了，在我读一些文字资料的时候，觉得有些内容说得挺玄乎，像是硬往黄金分割上面套似的，比如蒙娜丽莎的脸，埃菲尔铁塔等等。不过话也说回来，0.618 这个黄金值被使用了这样久，为古代和现代人们所广泛采用，一定有它的道理了。不管怎样说,黄金分割的图形, 的确很优美。
有人说数学是美丽的，让我们看看吧 --- 几个黄金分割的图形：
鹦鹉螺的内部结构
符合黄金分割的矩形
国旗
符合黄金分割的照片
印度的泰姬陵
这篇文章里有一些更细节的对黄金分割的解释：http://news.hiapk.com/mobileplat/120808/5929.html
数学上另外一个有趣的问题叫作莫比乌斯圈。有关这个圈的说法是指它只有一个面。怎么理解呢？是这样的，莫比乌斯圈是把一个小纸条，粘成了小圈，按常人理解，一个纸圈，就该有两个面，一正一反。非常令人不能解释的就是，莫比乌斯圈只有一个面，怎样证明它只有一个面。办法很简单，你放一只蚂蚁在上面，当它走回到起始位置时，那只蚂蚁顺着纸圈把两面都走到了，这里面没有玩任何的巧妙，蚂蚁就是走呀走的，两面都走到了。巧妙就在这个纸圈的制作上。在粘纸圈的时候，纸条的一个边转了180度，然后粘在一起了。如图所示：
。
另外，有一首诗把这个莫比乌斯圈的第二个妙处讲出来了：
数学家断言：
莫比乌斯带只有一边。
如果你不相信，
就请剪开一个验证，
带子分离时候却还是相连。
就是说，当你把它从中间剪开成两半的时候，按照常人的想象，应该是两个纸圈，但这个纸圈，剪开后，却成了一个纸圈！
非常神奇！
另一种玩法，先在一个纸条上画两道间隔相等的平行线，把纸条转360度再粘在一起，照线剪开，就成了3个套在一起的纸圈，很奇妙。如果你只沿中间剪一次，结果又会不同。这样的做法，可以当成魔术表演，给那些小孩子们演示一下，有趣得很。
莫比乌斯圈是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰•李斯丁在1858年独立发现的。（维基百科）
在百度百科里是这样解释的：
数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，莫比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。
莫比乌斯带被用于工业制造。一种根据它的原理而做出的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。
有一座钢制的莫比乌斯带雕塑位于美国华盛顿的史密斯森林历史和技术博物馆。
荷兰建筑师Ben Van Berkel以莫比乌斯带为创作模型设计了著名的莫比乌斯住宅。
在日本漫画《哆啦A梦》中，哆啦A梦有个道具的外观就是莫比乌斯带；在故事中，只要将这个环套在门把上，则外面的人进来之后，看到的仍然是外面。
不知道大家读起来是不是觉得枯燥。
我自己亲身经历的数学问题是这样的：
当年我们刚上高中，班上同学都是学习成绩好的人。我们的数学老师朱老师，估计是看出我们挺骄傲的，就在第一次的立体几何考试中出了一道附加题，题目是这样的：请画出这样三个图形 --- 三个平面两两相交。应该不难，结果我们班上全军覆没，没有一个人能画出三个图形出来。当时毕竟刚刚接触立体几何，什么概念也没有。现在想起来，朱老师用这个办法，达到了两个效果：让大家变得谦虚了，同时建立了自己的威信。朱先生人到中年，身上有一种儒雅，讲话声音不大，话也不多，但是每句话，每个字，都是经过深思熟虑说出来的，经典浓缩。他最爱说的一句话就是说“ 你们不要得意忘形。”这句话里一语双关，这里的“ 形 ”就是指数学的图形。在认识朱老师以后，我见到研究数学的人，心里就有一种莫名的恐慌。一个是学数学很难，特别是那些证明题。数学学得好的人很有一点高深莫测；另外一个就是，我自己感觉，学数学的人，能够看到你在想什么，知道你要做什么，怪吓人的。很多人，包括几个学习成绩非常好的同学，对朱老师是怕的。
多年以后，我才知道，他是我们那座城市最有声望的中学数学教师之一，特别荣幸，他教了我们3年，学了多少的东西啊。还有一次他出了一道一元三次方程的题考我们，只有个别同学做出来了。当时的方法是靠猜。他的这个办法，实际上是在培养我们灵活处理问题的能力。更多的，他喜欢用一些特别简单的顺口溜把数学上那些难记的公式总结出来，大大地减轻了我们记忆数学公式的任务。他说，这些公式，容易混淆，有时候你在考试的时候，心里一慌，瞬间就想不起来了。顺口溜，你们很难忘记。他也说过一句耐人寻味的话: 你们将来长大工作了，如果做得好，就说是我朱某的学生；如果将来做得不好，千万不要提我。这句话听起来我会有很多的想法。
现在我在网上还可以查到他的事情，朱老师都70多岁了。多少的往事，一遍一遍在脑海里出现。
有关数学的话题还有《许纯舫的初等几何四种》--- 在一次跳级的考试中，帮了我很大的忙。吉米多维奇 --- DDL在《老莫的生日》里首次提起，感到特别亲切，中国的数学家华罗庚--- 有关运筹学，等等。
有些复杂一点的，比如高等数学，在现实生活里我用过一次。来加拿大以后，我在学校里读书，和一个学外语的同学逛商店。当时我们都想买一个饭盒装饭。商店里那么多品种，买什么样的好？我就想起在中国学习的高等数学有关极值的问题，我的要求是要占地方少，又能装足够多的饭，因为上学的时候老觉得饿。转变成数学问题就是：在同样的容积下，哪一种形状占的体积最小。我们看了很多，最终找到了一种类似长方型的饭盒占用的体积最小，比扁的，圆的，高的都要好。我的那个学外语的女同学算是服了我，我们俩都特别高兴买到了理想的饭盒。
在高等数学里，我感到比较难的是流体力学和复变函数，学的时候真是莫名其妙。流体力学当时被我们称为留级力学，难度很大，我们学的时候已经不考试了，只是做作业来打分。也许我的悟性太低，一时半会体会不了其中的妙处。复变函数我是一点也记不起来了，不知道有谁能帮助我回忆一下。
数学在我们的生活里特别管用，非常可惜的就是，在加拿大，人们不重视它，数学好的人，真的是凤毛麟角；研究过数学的人，是相当聪明的，他们的逻辑，判断，推理能力都很强。我们的小孩子，应该鼓励他们学好数学，特别是那些难一点的内容，特别有用，可以作为他们的一技之长，对他们的一生，以至于工作，都有好处。
数学的问题，咱们就谈到这里了，希望各位没有感到枯燥。（待续）
赞一下枫树林美文，写的好，充分展现作者对数学之美的欣赏和不同一般的taste。下面开砸
走题！走题！！走题！！！ 说是讲数学和哲学，哪里见到了哲学的影子？！作者的哲学思考停留在简单枚举，没有哲学提升，作者充其量算是朴素的唯物主义者，俺给你改个标题吧：《数学，那一场风花雪月的故事》。
