cfc好多的高知, 出道题测试一下

[Hainiu]

我是这么看的。同一个人先后两次检查，均为阳性。这两件事情是相关的。也就是说， 第二次检查不是独立事件。 逻辑上

第一次检查，前提是5%得了新冠病毒， 所有得到阳性结果的人都是55%的概率真阳性。

第二次检查，前提就变了， 新的人群，不再是我太花群众，而是第一次阳性结果的人群，这个人群，55%的人得了新冠。

1.如果一个人被感染了，有94%的概率测试结果为阳性(证明他有病毒)
2.如果一个人没被感染，有96%的概率测试结果为阴性(证明他没有病毒)

大牛们根据新的前提，再算一遍，会得出两次都是阳性的，患病概率

PPV = P(infected | test positive) = sensitivity * prevalence / ( sensitivity * prevalence + (1-specificity) * (1-prevalence))
= 0.94*0.55/(0.94*0.55+0.04*0.45) = 96.64%

当然了前提是，这个两次都是正确操作的结果。

概率论中的概念比较绕人，用起来往往令人困惑，但也很有趣。概率论中对随机事件之间的独立性有明确的定义。通俗地说，如果各个事件发生的概率互不影响，那么称这些事件之间为独立的，反之则为非独立的。举个例子来说，一副扑克有 54 张牌。随机抽取一张，抽到任何一张牌的概率是 1/54。如果把抽到的牌放回去并混合均匀后再随机抽取一次，那么第二次抽到任何一张牌的概率仍然是 1/54。显然第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。在概率理论中，称这两次抽取的过程和结果是独立的，无论两次是否抽到相同的牌。抽到两张相同的牌的概率是 （1/54） x （1/54）= 1/2916。

与此相反，如果第一次抽到的牌不放回去，那么第二次抽到哪张牌的结果就与第一次抽到哪张牌有关系。譬如，如果第一次抽到♦A，那么第二次也抽到♦A 的概率是0；如果第一次抽到♦K，那么第二次也抽到♦K 的概率是0；而抽到任何其它一张牌的概率为 1/53。显然，抽到两张相同牌的概率为零，抽到某两张不同牌的概率为 （1/54） x （1/53）= 1/2862。在概率理论中，称这样两次抽取的过程和结果为非独立的。

回到我们讨论的问题，假设第二次检测的结果不受第一次检测结果的影响，那么两次检测的结果是独立的。在这种情况下，真阳性的人两次都被检测为阳性的概率是 0.94 x 0.94 = 0.8836，而健康的人两次都被检测为阳性的概率是 0.04 x 0.04 = 0.0016。现在仍然用原来的计算方法, 但分别用 0.8836 和 0.0016 代替 0.94 和 0.04，可以算出 “在两次检测结果都为阳性的条件下受试者是真阳性的概率” 为 0.05*0.8836/(0.05*0.8836 + 0.95*0.0016) = 96.67%。

这个结果和贵圈的结果是一样的，虽然思路不相同。不难证明，这两种计算方法其实是一回事，都假设了两次检测的结果是独立的。

 

[ASSISTANT]

PPV、NPV 和 sensitivity、specificity 的转换公式是基于条件概率推导出来的，其实就是 Bayes' Theorem 具体到 PPV as a function of prevalence & sensitivity, specificity 的表述，如果知道怎么推导就不必强记。

不论学什么专业的，只要能够充分理解什么是 条件概率 就可以正确回答问题，如果了解一点 epidemiology 或者 biostatistics 中 diagnostic accuracy 的背景就比较占便宜 (虽然学这两个专业的人或许更熟悉的是 comparative effectiveness / safety of treatments，或者 prognosis / prediction，每个地方的课程和研究侧重不一样)。的确也有人凭直觉算对了 (直觉和条件概率暗合)。

我又不是出题者，我只能猜测他出题的动机是在说，“即便 sensitivity, specificity 很高，只要 prevalence 偏低，PPV 仍然可能不太高 (违反直觉)”。我回答完题目，顺便告诉看帖的人，在有多次检测的情况下，这个说法并不一定对。

从条件概率的定义出发，把我缩略没有全写出来的内容推一遍，就能回答 #8.
PPV = P(infected | test positive) = (# infected AND tested positive)/(# tested positive) = TP/(TP+FP)
= ( P(test positive | infected) * prevalence * Total )/ ( P(test positive | infected) * prevalence * Total + P(test positive | not infected)*(1-prevalence)*Total )
用 1-specificity 取代 P(test positive | not infected)，分子分母同时去掉 Total
= sensitivity * prevalence / ( sensitivity * prevalence + (1-specificity) * (1-prevalence))

太佩服了。从小数学就不好。别说让我算，看这些公式都晕。

 

[ASSISTANT]

活蹦乱跳的就三种可能。没感染，有抗体，无症状感染者。

 

[Hainiu]

太佩服了。从小数学就不好。别说让我算，看这些公式都晕。

没那么玄乎，真的算起来，就是点儿加减乘除，用不着多深的数学。