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回顾一下力学知识，我们就会知道，一个物体要保持静止（或者更严格地说，运动状态不变），必须要同时达到力的平衡以及力矩的平衡。如果这个物体受到的合力不为0（也就是说，没有达到力的平衡），它就会沿着合力的方向被加速（我们可以把这种运动称为平动），假如这个合力的方向是不断变化的呢，那这个物体受到的加速度就也在不断变化，说白了，这就会使该物体产生振动。光有力的平衡还不行，还要有力矩的平衡，也就是说物体受到的合力矩要为0，否则就会产生让物体加速转动的趋势。如果合力矩的方向也是不断变化的，这同样要导致物体的振动。
从维度上说，空间是三维的，物体的平动和转动也各自可以拆分为三个维度。也就是说，一个物体的运动状态可以表示成三个维度的平动和三个维度的转动。
单缸：
好，让我们步入正题。首先从最简单的4冲程往复式内燃机，也就是单缸机，开始分析，然后再推广到更复杂的引擎构型上去。我们先定义一些物理量：
m：往复运动质量，包括活塞以及连杆的一部分（连杆的运动并不是像活塞那样仅仅沿着一条直线运动的，但是我们可以想像，它可以被分解为不同的成分，就相当于它有一部分质量是跟着活塞的）。
r：曲柄半径，实际上也就是引擎活塞行程的一半啦。
w：曲轴运转的角速度。
c：连杆的长度。
再约定一下坐标系：沿着曲轴的方向，我们定义它为z轴，单缸机的汽缸的走向，我们定义它为y轴，和y轴、z轴都正交的方向就是x轴。至于原点么，我们就定在曲轴的最前端的横切面的轴心上好了。
先看平动，z轴方向我们是看不到有什么力的作用的（其实所有的内燃机都是如此的），所以我们暂且不用管它，只考虑x轴和y轴构成的这个平面内发生的事情就好了。容易想像，振动力主要是存在于沿着活塞运动的方向的，也就是y轴。这个振动力归根结底还是因为活塞沿着汽缸往复运动而产生的，根据牛顿力学，我们知道：
F = m*a （1）
a是活塞往复运动时的加速度，用微分可以表达为：
a = dv/dt （2）
v是活塞的运动速度，用微分可以表达为：
v = ds/dt （3）
s是活塞（在y轴方向上）的位置。我们知道，当活塞恰好运动到上止点的时候，它的位置用它和原点（也就是曲轴的轴心）的距离表示，应该正好是r+c。之后活塞向着下止点运动，在任意时刻t，曲柄和y轴的夹角可以用w*t表示。活塞和曲轴轴心的距离可以被曲柄销分成俩部分，一部分是曲柄在y轴上的投影：
s1 = r*cos(w*t) （4）
一部分是连杆在y轴上的投影：
s2 = (c^2-(r*sin(w*t))^2)^0.5 （5）
我们把（5）式改写一下：
s2 = c*(1-((r/c)*sin(w*t))^2)^0.5 （6）
式中r/c就是曲柄半径和连杆长度的比值，考虑一下活塞运动到下止点的情形，不难想像，c至少要比活塞行程，也就是2*r还要长（现实中的引擎通常都在4*r上下了），所以((r/c)*sin(w*t))^2应该是比1小得多的，这样我们就可以用下幂级数展开来近似它，于是（6）式就简化成：
s2 = c*(1-0.5*((r/c)*sin(w*t))^2) （7）
根据（4）和（7），s就可以表示成：
s = r*(1-cos(w*t))+0.5*(r^2/c)*sin(w*t)^2 （8）
于是（3）式就变成：
v = r*w*sin(w*t)+0.5*(r^2/c)*w*(2*sin(w*t)*cos(w*t)) （9）
由三角倍角公式，（9）式就化为：
v = r*w*sin(w*t)+0.5*(r^2/c)*w*sin(2*w*t) （10）
把上式带入到（2）式中，我们可以得到：
a = r*w^2*cos(w*t)+((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （11）
这样我们终于能够把（1）式中的振动力确切的表达出来了：
F = m*r*w^2*cos(w*t)+m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （12）
可见，对于一台单缸机，活塞在汽缸内往复运动而产生的振动力可以大致分为俩部分：
F = F1 + F2 （13）
F1 = m*r*w^2*cos(w*t) （14）
F2 = m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （15）
说到引擎的平顺性，人们常会提起一阶振动、二阶振动，什么意思呢？看上面的分析，F1是一个和曲轴旋转同周期变化的量，实际上它就是导致一阶振动的主要原因了，而F2则是以俩倍于曲轴旋转的频率周期变化的一个振动力，也就是所谓的二阶振动的根源。
对于单缸机来说，无论一阶还是二阶，它都不是一个内在平衡的系统，所以它的平顺性会非常糟糕。有没有方法矫正呢？方法是有的，让我们首先看看F1和F2的大小， F2的最大绝对值是F1的r/c倍，前面我们已经分析过了，r/c肯定是远比1小的，所以单缸机的一阶振动是最主要的矛盾。因为它是和曲轴旋转的频率同步的，矫正相对不难，就是在曲轴上加上一定量的配重，使得曲轴本身的质心偏离其轴心，这样它旋转同样会产生一个一阶的振动力，可以抵消掉活塞产生的F1。然而，这样的配重有个问题，它不但产生y轴方向上的力，还会产生x轴方向上的力，也就是说如果我们完全抵消掉F1，就会发现原本并没有的横向振动（严格地说，曲柄和连杆本身也会造成横向，也就是x轴方向上的振动，不过相比y轴上活塞造成的振动力，可以忽略不计），现在变得很大。如果我们控制横向振动呢？又很难完全抑制y轴上的上下振动。所以，说来说去，靠曲轴配重，只能说有点用处，但是无法完全消除单缸机的一阶振动，更不用说二阶振动了??。有人说了，那有没有其它方法矫正单缸机呢？比如设计某种平衡轴？也许有吧，不过单缸机本身不就是图个简单么？如果光是平衡装置就那么复杂，何必坚持使用单缸的设计呢？
上面分析了半天，还只是考虑了力的平衡，还有力矩的平衡呢。根据前面的分析，如果不考虑曲轴配重，大致上振动力就是沿着y轴方向变化的，假使我们认为单缸机前后、左右都完全对称，是不会有任何力偶产生的，力矩上倒是内在平衡的。不过加上曲轴配重，它产生的x轴方向的振动力就可能打破力矩的平衡，造成引擎左右摇动的趋势，不过考虑到引擎的质心可能离曲轴不算远，也就是说力臂可能还算不大，这个力矩不平衡可能还不算一个严重问题，我们姑且放过它。
最后不得不说的是，我们上面的分析都只假定曲轴是以恒定的角速度w匀速旋转的，但是实际情况却不是这么简单。由（10）式，我们知道，活塞在汽缸内的运动速度是不断变化着的，也就是说，它的动能（姑且忽略其重力势能的变化）：
E = 0.5*m*v^2 = 0.5*m*(r*w*sin(w*t)+0.5*(r^2/c)*w*sin(2*w*t))^2 （16）
是周期性地变化着的。假定汽车匀速行使，引擎输出地功率恰好都用来克服阻力做功了，那么活塞动能变化引起的能量波动又是怎么回事呢？难道能量守衡定律失效了？其实不是的，伴随着活塞动能的变化，汽车必然在速度上也会相应发生微小的扰动，只不过相比活塞，汽车储备的动能太大了，这个变化幅度就非常小。而且活塞动能变化的频率太高，我们人类的感官是很难觉察到的。然而我们忽略一个重要的问题：对于4冲程引擎，每个汽缸每旋转俩周才做功一次，而且只有在这个冲程内，引擎才真正地对外输出强大的扭矩，这时曲轴会有明显的加速趋势，而在其它的冲程则不会这样。具体到单缸机，点火的频率就是0.5次／360度。对于行使的汽车，根据前面的分析，因为车本身的动能太大，可以一定程度上把引擎本身的这种动能变化吸收掉。但是当引擎处于怠速，和汽车断开的时候呢？这时转速就会出现很明显的不稳定现象，这同样是损害引擎平顺性的大敌。克服的办法就是采用重飞轮，这样飞轮可以以较小的转速变化为代价，吸收前面所讲的各种导致引擎转速不稳定的趋势。但是太重的飞轮也会使引擎的油门响应变得非常迟钝，这也是一对矛盾。无奈于单缸机点火频率太低，怎么搞平顺性也难理想。总而言之，单缸机现在基本上不会出现在汽车领域内了，大概一些便宜的除草机之类的装置也许还会见到它。
好了，我们把上面的分析总结一下：影响引擎平顺性的主要因素包括力的平衡、力矩的平衡以及系统的动能变化等因素，其中，力的平衡又可分为一阶平衡和二阶平衡俩个主要的方面，而影响系统动能变化的因素主要包括点火频率和活塞动能变化等等。具体到单缸机，主要问题是：力的平衡方面，一阶和二阶都不能达到内在平衡，而且难以简单的矫正；动能变化方面，主要是点火频率太低。总之就是，基础太差，没法子改进。
直列2缸：
搞了半天，才搞完一个缸??继续搞??加一个缸，双缸。从双缸起，就有构型问题了，也就是说这俩个汽缸如何排列的问题。首先，可以是直列2缸。前面分析单缸机的时候，我们说到，单缸机的一个主要问题是点火频率太低，只有0.5次／360度。显而易见，双缸机的点火频率可以提高一倍，到1次／360度。这样＃1汽缸做功时，＃2汽缸刚好是在进气，反亦反之。为此，俩个汽缸的曲柄必须朝向相同的方向（因为俩活塞的位置和运动的方向永远是相同的），也就是采用所谓的360度曲轴。问题来了，对于360度曲轴的直列2缸机，俩个活塞导致的振动力也永远是同步的，就好比把单缸机乘以2，振动力变化周期不变，振幅加倍：
F1 = 2*m*r*w^2*cos(w*t) （17）
F2 = 2*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （18）
这就糟糕了。过去主要是英国和日本Yamaha的一些摩托车采用这样的设计，主要是图它点火均匀，排气没有那么强烈的嘭、嘭、嘭的感觉。
上述问题的最直接的解决办法就是把俩缸的曲柄错开一个角度a，于是我们得到：
F1 = m*r*w^2*cos(w*t)+m*r*w^2*cos(w*t+a) （19）
F2 = m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t)+m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a)) （20）
根据三角和差公式，上式可以化为：
F1 = 2*m*r*w^2*cos(w*t+a/2)*cos(a/2) （21）
F2 = 2*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t+a)*cos(a) （22）
由上可见，如果把直列双缸引擎的曲柄夹角设为180度，也就是采用所谓180度曲轴，则可以达到内在的一阶平衡，但是此时二阶振动则没有任何改善。反之，曲柄夹角90（或者说是270度）时，这个系统可以达到内在的二阶平衡，但是一阶振动就不能完全抑制了（尽管要比夹角为0的情况好些）。现实中，大多数日本产直列2缸摩托以及某些意大利摩托厂都是采用180度曲轴，因为二阶振动极值较小些，这样的构型平顺性相对较好，但是点火不均匀，排气声浪很有特点。至于270度曲轴，在一些摩托车厂（比如Yamaha）的产品上也有应用，它的振动通常还是比180度曲轴要大些，但是点火相对均匀一点点。
另外一个问题就是力矩平衡，如果我们从侧面观察一台直列2缸引擎，很容易发现，因为俩只汽缸是平行的，当它们产生不同大小振动力的同时，还可能带来一对振动力偶。如果不考虑活塞运行在不同的冲程时产生的振动力的差别，则360度曲轴的机型没有这个问题，因为其振动力方向总是相同的，所以只会带来使引擎上下振动的效果，但没有前后端因为力矩不平衡带来的那种端到端的摆动。180度曲轴的机型俩个活塞运动方向总是相反，这个问题就比较明显了，不过好在其只有较小的二阶振动力，加上力臂不算很大，这种端到端的摆动应该还不是主要矛盾。270度曲轴机型则应该介于前两者之间。
最后一个问题，活塞动能变化。由于360度曲轴的机型活塞总是处于相同的位置，回忆（10）式，它们的运行速度要么一起变快，要么一起变慢，合起来，活塞的动能变化就比较大，如果需要非常稳定的怠速，飞轮就必须重一点。其它的机型活塞总动能的变化要小一些，但是考虑点火不均匀，我估计它们的怠速也是不稳定的。
总之，对于直列2缸引擎来说，一阶平衡和二阶平衡是不可能同时达到的。而且不要忘记，除了360度曲轴的机型，俩个汽缸点火是不均匀的，以180度曲轴为例，点火间隔是180度－540度－180度－540度??，其中还是包含有一个明显的0.5次／360度的频率成分，或者说，在点火频率方面，并没有比单缸引擎好太多。另外就是除了360度曲轴的机型，直列2缸机还有因为力矩不平衡造成的端到端的摆动。总之，从平顺性的角度，4冲程直列2缸引擎仍然是一个很不理想的系统，目前基本上也不在汽车上使用。不过据说印度车厂Tata准备推出一款微型车Nano，是准备采用一台直列2缸引擎。具体的情况不是很了解，只听说会采用某种平衡轴装置来改进其平顺性。印度人，有创意哦??
V2：
既然直列2缸不是一个好的选择，我们可不可以让两个汽缸错开一个角度b呢，也就是使用V2的构型？当然可以。不过我们得先补充一些关于坐标系的约定。为了方便起见，我们把y轴设定在＃1汽缸的方向上，＃2汽缸则和y轴相差一个角度b（这个角度其实也就是汽缸夹角）。x轴的定义还是和z轴、y轴都正交的方向。请注意了，汽缸夹角b可不一定和曲柄夹角a相等啊。
先看力的平衡。＃1汽缸产生的振动力还是沿着y轴的方向：
F11x = 0 （23）
F11y = m*r*w^2*cos(w*t) (24)
F21x = 0 （25）
F21y = m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （26）
而＃2汽缸的振动力如何表达呢，我们同样可以把它们沿x轴和y轴分解。不过这里要注意一下相位，如果曲柄夹角a恰好于汽缸夹角b相等，两列汽缸则正好处于相同的相位，因此我们可以得到如下表达式：
F12x = m*r*w^2*cos(w*t+a-b)*sin(b) （27）
F12y = m*r*w^2*cos(w*t+a-b)*cos(b) （28）
F22x = m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a-b))*sin(b) （29）
F22y = m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a-b))*cos(b) （30）
合并上述振动量：
F1x = F11x+F12x = m*r*w^2*cos(w*t+a-b)*sin(b) （31）
F1y = F11y+F12y = m*r*w^2*(cos(w*t)+cos(w*t+a-b)*cos(b)) （32）
F2x = F21x+F22x = m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a-b))*sin(b) （33）
F2y = F21y+F22y = m*((r*w)^2/c)*(cos(2*w*t)+cos(2*(w*t+a-b))*cos(b)) （34）
由于F1x和F1y是正交的，所以它们的合力F1的数值f1以及作用方向a1可以表述成：
f1 = (|F1x|^2+|F1y|^2)^0.5 （35）
a1 = arctg(|F1y|/|F1x|) （36）
展开：
f1 = m*r*w^2*(cos(w*t+a-b)^2+cos(w*t)^2+2*cos(w*t)*cos(w*t+a-b)*cos(b))^0.5 （37）
a1 = arctg((cos(w*t)+cos(w*t+a-b)*cos(b))/(cos(w*t+a-b)*sin(b))) （38）
同理可得二阶振动力的数值：
f2 = m*((r*w)^2/c)*(cos(2*(w*t+a-b))^2+cos(2*w*t)^2+2*cos(2*w*t)*cos(2*(w*t+a-b))*cos(b))^0.5 （39）
a2 = arctg((cos(2*w*t)+cos(2*(w*t+a-b))*cos(b))/(cos(2*(w*t+a-b))*sin(b))) （40）
实际上，上述公式我们可以推算出，对于典型的V2引擎，无论一阶还是二阶的振动力都是天然存在的，不过具体的振幅，不过超过360度曲轴的直列2缸机。
我们来看些具体的例子，先看意大利Ducati等摩托车厂常用俩汽缸共用一个曲柄销（也就是曲柄夹角a = 0），汽缸夹角为90度的设计（b = 90）。代入（37）－（40），并利用一下相关的三角公式：
f1 = m*r*w^2 （41）
a1 = 90-w*t （42）
f2 = 1.4142*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （43）
a2 = -45 （44）
从（41）－（44）我们可以得出：对于这种90度夹角，俩缸共用曲柄销的V2来说，一阶振动力大小恒等于排量为其一半的单缸机的极值，方向是与曲轴旋转同步变化的（就好比一个表针那样不断画着圆圈）。这样，我们同过加装曲轴配重，就可以很方便的做到完全的一阶平衡，而不需要担心像单缸机那样打死了狼却引来了老虎（因为对于这样的V2，配重产生的振动力无论大小和方向都可以正好与活塞的一阶振动力相抵消）。至于二阶振动，则没这么容易完全消除，但是至少比360度曲轴的直列2缸机好很多（确切的说，是其0.7071倍）。
再看看力矩平衡，如果按前面的分析，一台90度V2的一阶振动力被完全抵消掉，引擎的主要振动力就只有较小的二阶量了。但是如果我们从侧面观察它，俩只汽缸不可能完全重合（那样的话两只连杆就要打架了：），这样一来，还是会产生一个小小的力偶。如果我们把这台V2正立（就是两列汽缸和竖直方向夹角为+/-45度），它的二阶振动力的方向根据（44）式，就应该是水平方向的了，所以力矩的不平衡会导致引擎在水平面内扭动。不过因为力臂很小，二阶振动力也相对较小，这个力矩不平衡问题应该也不是主要矛盾。至于点火频率和活塞的动能变化，它的情况和270度曲轴直列2缸机类似，但和它相比，由于一阶振动容易消除（就算不用配重消除，其最大振动力也要小于270度曲轴直列2缸机的情况），总体上还是更容易提供好得多的平顺性。
其它的V2设计还有很多，比如a = 75，b = 45（如某些Suzuki摩托车型），或者 a = 0，b = 60（比如意大利Aprilia的一些摩托车型），或者 a = 76，b = 52（比如Honda
的一些摩托车型）??，但是它们内在的平衡特性都没有前述90度V2优越，往往是出于尺寸限制或者纯性能方面的考虑的结果。对这些机型暂且就不一一分析了。
总结一下就是，相比直列2缸引擎，V2，尤其是90度夹角共用曲柄销的机型，可以提供更好的平顺性。但是它仍然不能同时消除一阶和二阶振动，并且会有轻微的力矩不平衡造成的扭动，点火通常也不均匀。对于一般的汽车应用来说，还是显得太过粗糙，加上缸数太少，几乎不再出现于汽车领域中了。
水平对置2缸：
借用一下（37）、（39）式，如何才能使得V2引擎平顺性最优化呢？90度夹角还不是最终答案。其实仔细观察这俩个公式，只要增加汽缸夹角b到180度，曲柄夹角也设为180度，f1、f2就奇迹般地消失无踪了。完全没有了，两台汽缸产生的振动力完全对冲了。从力的平衡角度，这就是传说的自然平衡系统啦。 从点火频率的角度，它也可以做到完全的均匀点火，厉害吧？ BMW的摩托车就惯用这样的机型。
不过水平对置2缸也并非完美的构型，和V2一样，由于俩只汽缸实际上必须前后错开一些，这就带来了力矩不平衡的隐患。在90度V2上，导致力偶的主要是数值很小的二阶振动力，因为一阶力可以用加曲轴配重的方法抵消掉。但是对于水平对置2缸机，造成振动力偶的实际上是活塞带来的全部振动力，这样的力偶实际上要大得多。有人问了，刚才不是说振动力全对冲了，没有了吗？那时只考虑平动得情况下。当我们考虑转动时，俩只活塞产生得振动力虽然大小相等，方向相反，但却并非作用在同一点，所以谈到力矩平衡，它们不但没有对冲，而且还形成了相当强的力偶。这样，尽管俩个汽缸错开的距离并不大，比如只有两英寸，但是这种水平对置2缸机在水平面内的扭动要比V2明显得多。这样得力矩不平衡还不容易矫正（回忆一下我们分析单缸机和360度曲轴直列2缸机时的情景，靠曲轴配重是无法完全修复这种永远只作用在一条直线上的力造成的后果的）。
上面提到的力矩不平衡还不是水平对置2缸机唯一的弱点。和360度曲轴直列2缸机一样，它的俩个活塞在汽缸中的位置也是永远相同的，这样就造成了活塞总动能变化明显的问题，因此，尽管它点火均匀，但是仍然需要重飞轮来保证稳定的怠速。
哎，看来双缸是怎么也没法做到特别的平顺喽：（
直列3缸：
继续增加一个汽缸，到3缸机了。一般来说，V型构型或者水平对置都需要有偶数个汽缸，所以直列几乎是3缸机的必然选择。剩下的问题就是曲柄间的角度了。从尽可能地均匀点火的角度来说，3个汽缸，4冲程，就应该是1.5次／360度，也就是说，3个活塞的曲柄均匀岔开，依次间隔240度（或者说120度）。这样从正面看过去，曲轴像是个三叉星。
现在来看力的平衡。受（19）、（20）式的启发，我们容易得到上述式样的直列3缸机的振动力：
F1 = m*r*w^2*(cos(w*t)+cos(w*t+240)+cos(w*t+480)) （45）
F2 = m*((r*w)^2/c)*(cos(2*w*t)+cos(2*(w*t+240))+cos(2*(w*t+480))) （46）
利用一下三角知识不能看出，上式最终化简的结果是：
F1 = 0 （47）
F2 = 0 （48）
三个汽缸的一阶振动力、二阶振动力都神奇的互相抵消了！
不过先别急，还有力矩平衡没有考虑呢。从侧面观察这个引擎，假设其质心在正中，＃2汽缸的中心线正好穿过它，我们就以这里作为参考系的原点，则＃1、＃3活塞产生的振动力都距离原点颇远，其力臂均为一个汽缸中心间距d。不难算出，三个汽缸受到的合力矩为：
T = T1+T2+T3 = (F11+F21-F13-F23)*d （49）
其中F11、F21分别为＃1汽缸的一阶和二阶振动力，F13、F23则为＃3汽缸的振动力。展开然后化简可得：
T = 1.7321*m*r*w^2*d*(cos(w*t-30)+(r/c)*cos(2*w*t+30)) （50）
也就是说，振动力偶也包含一阶和二阶俩个成分，但是一阶量要远大于二阶量。
最后再看曲轴动能变化。均匀点火，三个活塞在汽缸中的位置完全岔开，不用精确的分析我们也能猜到，动能变化不会是个大问题，所以不需要重飞轮。当然，这样说只是相对于其缸数来说的。即便点火均匀，三缸毕竟有限，点火频率只有1.5次／360度，和缸数更多的引擎来比，当然它的动能变化还是较大的，运转的稳定性也要逊色了。
概括起来，直列3缸机无论一阶还是二阶力平衡都可以自然满足，系统的动能相对也较为稳定。但是，它在力矩方面是不平衡的，由此会造成前、后端的端到端的俯仰运动。那么如何矫正呢？一个直接的想法是使用曲轴配重，这样配重因为运动方向总是和活塞相对，所以可以产生一个一阶力，＃1、＃3汽缸合在一起，就可产生一对一阶的力偶，正好抵消掉活塞产生的一阶振动力偶。然而，我们前面已经遇到过这样的问题：这样的配重会产生副作用——x轴方向上的振动力分量。常见的直列3缸引擎（不用举例了吧？微型车上用的多得是：），大多都使用这样一种解决方案：增加一条和曲轴转速相同但方向相反的平衡轴。它的两头各有一块配重。如此一来，它和曲轴配重产生的x轴方向上的振动力正好相抵了，y轴（也就是汽缸的朝向）上的合力友可以正好获得一个一阶的力偶去抵消活塞产生的一阶振动力偶。如此一来，世界就清净了许多了。不过呢，二阶的振动力偶虽然较小，可是却不能轻易去除了。增加更多的平衡轴就会使得引擎过于复杂，那还不如增加一个汽缸呢??:~(
直列4缸：
3缸＋1缸，我们现在说到了直列4缸。这也是当前最为主流的引擎构型之一了吧。还是从均匀点火的角度出发，4冲程4缸机应该是2次／360度，也就是说，曲轴每转180度有一个汽缸点火。一台直列4缸机为了实现上述构想，就必然在任意时刻，总是有俩个活塞在汽缸中处于相同的位置，另外俩个也相同，并且总和第一对活塞相对。有了分析3缸机的力矩平衡时的教训，我们很容易想到，对于直列4缸机，如果我们让＃1、＃4活塞位置相同，＃2、＃3相同，也就是说让引擎首尾两端完全对称，那么就可以达成完全的力矩平衡（无论一阶还是二阶）。这样实际上就相当于把两台180度曲轴的直列2缸机串在一起了，所以我们不用计算也能猜到，这个系统的一阶振动力也是内在平衡的（见前面关于2缸机的分析）。现在唯一的问题就是二阶力的平衡了，根据（22）式，我们容易得出：
F2 = 4*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （51）
单就二阶振动力来讲，直列4缸机和单缸机、180度曲轴直列2缸机一样的糟糕！我们前面分析过，二阶振动力数值上本来是不大的，但是现在4个汽缸合起来也是不得了的。所以呢，排量较小的直列4缸机还可以忍了，排量较大的话，就必须要矫正一下了。
如何修正？通常的办法就是，设两根双倍于曲轴转速的平衡轴，让它们对转。这样，平衡轴上设置的配重就会产生振动力，变化频率正好是俩倍于曲轴的。因为这对平衡轴是对转的，所以它们产生的x轴向上的振动力分量就互相抵消了，而y轴上的分量呢？正好与活塞产生的二阶振动力抵消。
最后一个问题，活塞动能变化。根据我们对180度曲轴直列2缸机的相关分析，这个问题在于直列4缸机应该不严重。
总上所述，直列4缸机可以做到均匀点火，活塞总动能变化也不明显，无论一阶还是二阶的力矩都可以自然平衡，一阶力平衡也是它的内在属性，唯一一点问题就是没有二阶力的平衡。不过这个问题可以通过双倍速对转的双平衡轴系统克服。我们前面从单缸分析到4缸，这多的机型，迄今为止，使用这样双平衡轴的直列4缸机还是第一种（经过矫正后）没有任何主要的导致振动的因素的机型了。
V4：
当代的汽车已经不再使用V4了，只有摩托车上还时常可以见到。让我们找找原因吧。首先还是先满足均匀点火的条件。可以想像，这样的引擎也不难设计，每列俩个汽缸都正好相差180度相位（就类似一个180度曲轴的直列2缸机）。显然，两列汽缸间的夹角要与曲柄夹角相等（a = b）。根据180度曲轴直列2缸机的特性我们可以推出，这样的一台V4必然能够满足一阶力的平衡。沿用我们对V2的分析方法来看看二阶力，可以推导出：
f2 = 2.8284*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t)*(1+cos(b))^0.5 （52）
a2 = arctg((1+cos(b))/sin(b)) （53）
如果上述分析正确的话，由（52）式，汽缸夹角b为90度时二阶振动力最小（小于相同排量的直列4缸机），方向为竖直方向（假定该V4左右对称放置）。也就是说这样的V4机类似直列4缸机，一阶力平衡，二阶不平衡，但振动小于后者。如果一定要矫正这种二阶振动力的话，方法也是同直列4缸一样的。
然而真正麻烦得在于力矩的平衡，前面描述的构型是不可能像直列4缸机那样做到首尾对称的，于是力矩平衡被打破了。和直列3缸机一样，一阶、二阶的力偶都存在。如果如前所述，使用双平衡轴矫正二阶力，仍然还会剩下一阶力产生的力偶，引擎会因此出现波动于两列汽缸间扯动。实际上，这个一阶力偶造成的振动比前面说的二阶力的不平衡造成的影响可能更严重。所以实际应用的V4往往使用一根单倍速平衡轴来矫正它，但是二阶力（及力矩）的不平衡就不去管它了，总不能三根平衡轴同上吧？如此一来，大家知道为什么在汽车上直列4缸会完全打败V4，一同天下了吧？
至于其它的方面，我也懒得分析了。总之就是，V4引擎力矩不平衡，二阶力也不平衡，彻底矫正代价很大。目前只在摩托车领域流行，主要是结构紧凑。具体到不同的机型，由于尺寸的原因，各种汽缸夹角都可能被采用。并且往往为了简化曲轴设计，沿用共用曲柄销的方式，那样的话还会有点火不均匀的问题??，总之就是汽车界它肯定是混不下去的。
水平对置4缸：
前面分析水平对置2缸机的时候，我们已经知道它在力的平衡方面是完美的。水平对置4缸机也同样继承了这一点（你可以把它看作两台水平对置2缸机串联）。但是大家可能还记得，水平对置2缸由于两个汽缸不可能完全对称，会造成一定的力矩不平衡，由此会带来一种水平面内的扭动。水平对置4缸机这个问题则可以得到改善，因为我们可以让前后两对活塞在汽缸内的位置相差180度相位。没看懂？好吧，我们假定前面一对活塞分别为＃1、＃2，后面为＃3、＃4，＃1、＃3在左侧，＃2、＃4在右侧。＃1和＃2，＃3和＃4，肯定活塞位置是相同的（就好比水平对置2缸机的情况），然后我们让＃1和＃3之间，＃2和＃4之间差上180度。根据力矩的分析（这里我忽略过程了，反正方法都和前面大同小异），好消息：前后两对活塞产生的一阶力偶相互抵消了；坏消息：（较小的）二阶力偶加倍了。也就是说，水平对置4缸机会有力矩不平衡造成的二阶振动。这个振动和水平对置2缸的形式相似，不过因为只剩下二阶量，振动幅度小得多，所以通常不需要矫正。
水平对置2缸机的另外一个问题，也就是活塞动能变化的问题，在水平对置4缸机上也因为前述的构型而得到了改善（和直列4缸的情况基本类似）。不过顺带提一下，前述的构型一个问题是每列的两个汽缸是相继点火完后才抡到另外一列。这样排气方面会带来额外的一些问题，也会影响到引擎的NVH特性，不过我们这里就不深究了。
总之，水平对置4缸机是目前为止我们讨论的所有引擎中，最为接近完全自然平衡的系统了，可惜二阶力矩平衡方面差了一点点。
直列5缸：
如果汽缸数增加到5缸，点火均匀的话就是2.5次／360度，即曲轴每旋转144度就有一个汽缸点火，这对于4缸机有一个很大的好处。我们知道，往复活塞式4冲程
内燃机每个冲程相当于曲轴旋转180度，而4缸机点火间隔正好是180度，也就是说任意时刻，仅有一个汽缸处于做功冲程，输出扭矩，彼此之间绝无重叠。而实际上做功的高峰期还远覆盖不了整个180度。换句话说，当某个汽缸处于压缩冲程末期时（实际上由于点火提前角的存在，此时该汽缸已经点火了，但这时燃烧室内的压力是要阻止引擎运转的，而不是推动），却没有任何汽缸处于大幅输出扭矩的状态，这时引擎实际上是靠惯性运转的，也就是说，4缸往下，从这种角度来说，需要的飞轮都是偏重的。但自5缸机起，这个问题就得到了明显改观。
常见的直列5缸机点火顺序是1－3－5－4－2，也就是＃1、＃3、＃5、＃4、＃2汽缸之间曲柄夹角分别为144度。这样整个曲轴从正面看像个五叉星。套用我们对直列3缸机的分析，直列5缸机的一阶、二阶振动力也是恰好都互相抵消了，内在的力的平衡！
然而直列5缸机和直列3缸机类似，也是首尾不对称的，这样就会带来力矩不平衡的问题，仿照我们前面对直列3缸机的分析，直列5缸机的振动力偶为：
T = m*r*w^2*d*(0.45*cos(w*t+54)+4.75*(r/c)*cos(2*w*t-4.4)) （54）
这就有点麻烦了，以常见的r/c值估计，这个二阶力偶也不比一阶力偶小了。你说你矫正哪一个吧？我倒是看到过一个专利介绍，可以矫正这种二阶力偶造成的端到端的俯仰运动，也是类似直列4缸机的那种双平衡轴，而一阶力偶呢，则另外需要一根单平衡轴（类似我们前面说的直列3缸机用的那种）。三根平衡轴同上九太复杂了，所以常见的直列5缸机就是只用一根单倍速平衡轴去除一阶振动。由此还要忍受不算小的二阶端到端振动。从这个角度讲，还不如加了平衡轴的直列4缸机来得平顺呢。
总之，比较排量相近的直列4缸和5缸机，5缸机在点火频率方面有优势，但是它的振动比4缸机更难矫正，所以现实中没听说谁讲哪台直列5缸机特别平顺吧？那样说只能是睁眼说瞎话。另外提一下，VW的VR5，那个我就不具体分析了，你可以把它看作直列5缸机的近似，具体的力学特性还不如标准的直列5缸呢。总而言之，平顺性不理想应该也是5缸机不很流行的一个重要原因吧？
直列6缸：
知道很多人特别关心直列6缸和V6之争。前端时间还冒出“专家”说V6比直列6缸机平顺，我们现在就来看一下“专家”是如何颠倒黑白的。
其实直列6缸太好分析了，把两台直列3缸串联起来，让它们严格首尾对称，不难吧？由前面对直列3缸机的分析，很明显，直列6缸机也必然是无论一阶还是二阶，天然就能达成力的平衡。而它和直列3缸不同的是，它严格首尾对称，所以天然就能做到力矩的平衡（无论一阶还是二阶）。我们知道，它的活塞总动能应该也不会出大问题，均匀点火更是太容易了，3次／360度，点火间隔120度，显著短于4冲程引擎的单个冲程。
上述特性结合在一起，这是什么？这是我们迄今分析的所有引擎中第一个不需要任何矫正就没有任何平顺性问题的自然平衡体系啊！
回顾一下力学知识，我们就会知道，一个物体要保持静止（或者更严格地说，运动状态不变），必须要同时达到力的平衡以及力矩的平衡。如果这个物体受到的合力不为0（也就是说，没有达到力的平衡），它就会沿着合力的方向被加速（我们可以把这种运动称为平动），假如这个合力的方向是不断变化的呢，那这个物体受到的加速度就也在不断变化，说白了，这就会使该物体产生振动。光有力的平衡还不行，还要有力矩的平衡，也就是说物体受到的合力矩要为0，否则就会产生让物体加速转动的趋势。如果合力矩的方向也是不断变化的，这同样要导致物体的振动。
从维度上说，空间是三维的，物体的平动和转动也各自可以拆分为三个维度。也就是说，一个物体的运动状态可以表示成三个维度的平动和三个维度的转动。
单缸：
好，让我们步入正题。首先从最简单的4冲程往复式内燃机，也就是单缸机，开始分析，然后再推广到更复杂的引擎构型上去。我们先定义一些物理量：
m：往复运动质量，包括活塞以及连杆的一部分（连杆的运动并不是像活塞那样仅仅沿着一条直线运动的，但是我们可以想像，它可以被分解为不同的成分，就相当于它有一部分质量是跟着活塞的）。
r：曲柄半径，实际上也就是引擎活塞行程的一半啦。
w：曲轴运转的角速度。
c：连杆的长度。
再约定一下坐标系：沿着曲轴的方向，我们定义它为z轴，单缸机的汽缸的走向，我们定义它为y轴，和y轴、z轴都正交的方向就是x轴。至于原点么，我们就定在曲轴的最前端的横切面的轴心上好了。
先看平动，z轴方向我们是看不到有什么力的作用的（其实所有的内燃机都是如此的），所以我们暂且不用管它，只考虑x轴和y轴构成的这个平面内发生的事情就好了。容易想像，振动力主要是存在于沿着活塞运动的方向的，也就是y轴。这个振动力归根结底还是因为活塞沿着汽缸往复运动而产生的，根据牛顿力学，我们知道：
F = m*a （1）
a是活塞往复运动时的加速度，用微分可以表达为：
a = dv/dt （2）
v是活塞的运动速度，用微分可以表达为：
v = ds/dt （3）
s是活塞（在y轴方向上）的位置。我们知道，当活塞恰好运动到上止点的时候，它的位置用它和原点（也就是曲轴的轴心）的距离表示，应该正好是r+c。之后活塞向着下止点运动，在任意时刻t，曲柄和y轴的夹角可以用w*t表示。活塞和曲轴轴心的距离可以被曲柄销分成俩部分，一部分是曲柄在y轴上的投影：
s1 = r*cos(w*t) （4）
一部分是连杆在y轴上的投影：
s2 = (c^2-(r*sin(w*t))^2)^0.5 （5）
我们把（5）式改写一下：
s2 = c*(1-((r/c)*sin(w*t))^2)^0.5 （6）
式中r/c就是曲柄半径和连杆长度的比值，考虑一下活塞运动到下止点的情形，不难想像，c至少要比活塞行程，也就是2*r还要长（现实中的引擎通常都在4*r上下了），所以((r/c)*sin(w*t))^2应该是比1小得多的，这样我们就可以用下幂级数展开来近似它，于是（6）式就简化成：
s2 = c*(1-0.5*((r/c)*sin(w*t))^2) （7）
根据（4）和（7），s就可以表示成：
s = r*(1-cos(w*t))+0.5*(r^2/c)*sin(w*t)^2 （8）
于是（3）式就变成：
v = r*w*sin(w*t)+0.5*(r^2/c)*w*(2*sin(w*t)*cos(w*t)) （9）
由三角倍角公式，（9）式就化为：
v = r*w*sin(w*t)+0.5*(r^2/c)*w*sin(2*w*t) （10）
把上式带入到（2）式中，我们可以得到：
a = r*w^2*cos(w*t)+((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （11）
这样我们终于能够把（1）式中的振动力确切的表达出来了：
F = m*r*w^2*cos(w*t)+m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （12）
可见，对于一台单缸机，活塞在汽缸内往复运动而产生的振动力可以大致分为俩部分：
F = F1 + F2 （13）
F1 = m*r*w^2*cos(w*t) （14）
F2 = m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （15）
说到引擎的平顺性，人们常会提起一阶振动、二阶振动，什么意思呢？看上面的分析，F1是一个和曲轴旋转同周期变化的量，实际上它就是导致一阶振动的主要原因了，而F2则是以俩倍于曲轴旋转的频率周期变化的一个振动力，也就是所谓的二阶振动的根源。
对于单缸机来说，无论一阶还是二阶，它都不是一个内在平衡的系统，所以它的平顺性会非常糟糕。有没有方法矫正呢？方法是有的，让我们首先看看F1和F2的大小， F2的最大绝对值是F1的r/c倍，前面我们已经分析过了，r/c肯定是远比1小的，所以单缸机的一阶振动是最主要的矛盾。因为它是和曲轴旋转的频率同步的，矫正相对不难，就是在曲轴上加上一定量的配重，使得曲轴本身的质心偏离其轴心，这样它旋转同样会产生一个一阶的振动力，可以抵消掉活塞产生的F1。然而，这样的配重有个问题，它不但产生y轴方向上的力，还会产生x轴方向上的力，也就是说如果我们完全抵消掉F1，就会发现原本并没有的横向振动（严格地说，曲柄和连杆本身也会造成横向，也就是x轴方向上的振动，不过相比y轴上活塞造成的振动力，可以忽略不计），现在变得很大。如果我们控制横向振动呢？又很难完全抑制y轴上的上下振动。所以，说来说去，靠曲轴配重，只能说有点用处，但是无法完全消除单缸机的一阶振动，更不用说二阶振动了??。有人说了，那有没有其它方法矫正单缸机呢？比如设计某种平衡轴？也许有吧，不过单缸机本身不就是图个简单么？如果光是平衡装置就那么复杂，何必坚持使用单缸的设计呢？
上面分析了半天，还只是考虑了力的平衡，还有力矩的平衡呢。根据前面的分析，如果不考虑曲轴配重，大致上振动力就是沿着y轴方向变化的，假使我们认为单缸机前后、左右都完全对称，是不会有任何力偶产生的，力矩上倒是内在平衡的。不过加上曲轴配重，它产生的x轴方向的振动力就可能打破力矩的平衡，造成引擎左右摇动的趋势，不过考虑到引擎的质心可能离曲轴不算远，也就是说力臂可能还算不大，这个力矩不平衡可能还不算一个严重问题，我们姑且放过它。
最后不得不说的是，我们上面的分析都只假定曲轴是以恒定的角速度w匀速旋转的，但是实际情况却不是这么简单。由（10）式，我们知道，活塞在汽缸内的运动速度是不断变化着的，也就是说，它的动能（姑且忽略其重力势能的变化）：
E = 0.5*m*v^2 = 0.5*m*(r*w*sin(w*t)+0.5*(r^2/c)*w*sin(2*w*t))^2 （16）
是周期性地变化着的。假定汽车匀速行使，引擎输出地功率恰好都用来克服阻力做功了，那么活塞动能变化引起的能量波动又是怎么回事呢？难道能量守衡定律失效了？其实不是的，伴随着活塞动能的变化，汽车必然在速度上也会相应发生微小的扰动，只不过相比活塞，汽车储备的动能太大了，这个变化幅度就非常小。而且活塞动能变化的频率太高，我们人类的感官是很难觉察到的。然而我们忽略一个重要的问题：对于4冲程引擎，每个汽缸每旋转俩周才做功一次，而且只有在这个冲程内，引擎才真正地对外输出强大的扭矩，这时曲轴会有明显的加速趋势，而在其它的冲程则不会这样。具体到单缸机，点火的频率就是0.5次／360度。对于行使的汽车，根据前面的分析，因为车本身的动能太大，可以一定程度上把引擎本身的这种动能变化吸收掉。但是当引擎处于怠速，和汽车断开的时候呢？这时转速就会出现很明显的不稳定现象，这同样是损害引擎平顺性的大敌。克服的办法就是采用重飞轮，这样飞轮可以以较小的转速变化为代价，吸收前面所讲的各种导致引擎转速不稳定的趋势。但是太重的飞轮也会使引擎的油门响应变得非常迟钝，这也是一对矛盾。无奈于单缸机点火频率太低，怎么搞平顺性也难理想。总而言之，单缸机现在基本上不会出现在汽车领域内了，大概一些便宜的除草机之类的装置也许还会见到它。
好了，我们把上面的分析总结一下：影响引擎平顺性的主要因素包括力的平衡、力矩的平衡以及系统的动能变化等因素，其中，力的平衡又可分为一阶平衡和二阶平衡俩个主要的方面，而影响系统动能变化的因素主要包括点火频率和活塞动能变化等等。具体到单缸机，主要问题是：力的平衡方面，一阶和二阶都不能达到内在平衡，而且难以简单的矫正；动能变化方面，主要是点火频率太低。总之就是，基础太差，没法子改进。
直列2缸：
搞了半天，才搞完一个缸??继续搞??加一个缸，双缸。从双缸起，就有构型问题了，也就是说这俩个汽缸如何排列的问题。首先，可以是直列2缸。前面分析单缸机的时候，我们说到，单缸机的一个主要问题是点火频率太低，只有0.5次／360度。显而易见，双缸机的点火频率可以提高一倍，到1次／360度。这样＃1汽缸做功时，＃2汽缸刚好是在进气，反亦反之。为此，俩个汽缸的曲柄必须朝向相同的方向（因为俩活塞的位置和运动的方向永远是相同的），也就是采用所谓的360度曲轴。问题来了，对于360度曲轴的直列2缸机，俩个活塞导致的振动力也永远是同步的，就好比把单缸机乘以2，振动力变化周期不变，振幅加倍：
F1 = 2*m*r*w^2*cos(w*t) （17）
F2 = 2*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （18）
这就糟糕了。过去主要是英国和日本Yamaha的一些摩托车采用这样的设计，主要是图它点火均匀，排气没有那么强烈的嘭、嘭、嘭的感觉。
上述问题的最直接的解决办法就是把俩缸的曲柄错开一个角度a，于是我们得到：
F1 = m*r*w^2*cos(w*t)+m*r*w^2*cos(w*t+a) （19）
F2 = m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t)+m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a)) （20）
根据三角和差公式，上式可以化为：
F1 = 2*m*r*w^2*cos(w*t+a/2)*cos(a/2) （21）
F2 = 2*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t+a)*cos(a) （22）
由上可见，如果把直列双缸引擎的曲柄夹角设为180度，也就是采用所谓180度曲轴，则可以达到内在的一阶平衡，但是此时二阶振动则没有任何改善。反之，曲柄夹角90（或者说是270度）时，这个系统可以达到内在的二阶平衡，但是一阶振动就不能完全抑制了（尽管要比夹角为0的情况好些）。现实中，大多数日本产直列2缸摩托以及某些意大利摩托厂都是采用180度曲轴，因为二阶振动极值较小些，这样的构型平顺性相对较好，但是点火不均匀，排气声浪很有特点。至于270度曲轴，在一些摩托车厂（比如Yamaha）的产品上也有应用，它的振动通常还是比180度曲轴要大些，但是点火相对均匀一点点。
另外一个问题就是力矩平衡，如果我们从侧面观察一台直列2缸引擎，很容易发现，因为俩只汽缸是平行的，当它们产生不同大小振动力的同时，还可能带来一对振动力偶。如果不考虑活塞运行在不同的冲程时产生的振动力的差别，则360度曲轴的机型没有这个问题，因为其振动力方向总是相同的，所以只会带来使引擎上下振动的效果，但没有前后端因为力矩不平衡带来的那种端到端的摆动。180度曲轴的机型俩个活塞运动方向总是相反，这个问题就比较明显了，不过好在其只有较小的二阶振动力，加上力臂不算很大，这种端到端的摆动应该还不是主要矛盾。270度曲轴机型则应该介于前两者之间。
最后一个问题，活塞动能变化。由于360度曲轴的机型活塞总是处于相同的位置，回忆（10）式，它们的运行速度要么一起变快，要么一起变慢，合起来，活塞的动能变化就比较大，如果需要非常稳定的怠速，飞轮就必须重一点。其它的机型活塞总动能的变化要小一些，但是考虑点火不均匀，我估计它们的怠速也是不稳定的。
总之，对于直列2缸引擎来说，一阶平衡和二阶平衡是不可能同时达到的。而且不要忘记，除了360度曲轴的机型，俩个汽缸点火是不均匀的，以180度曲轴为例，点火间隔是180度－540度－180度－540度??，其中还是包含有一个明显的0.5次／360度的频率成分，或者说，在点火频率方面，并没有比单缸引擎好太多。另外就是除了360度曲轴的机型，直列2缸机还有因为力矩不平衡造成的端到端的摆动。总之，从平顺性的角度，4冲程直列2缸引擎仍然是一个很不理想的系统，目前基本上也不在汽车上使用。不过据说印度车厂Tata准备推出一款微型车Nano，是准备采用一台直列2缸引擎。具体的情况不是很了解，只听说会采用某种平衡轴装置来改进其平顺性。印度人，有创意哦??
V2：
既然直列2缸不是一个好的选择，我们可不可以让两个汽缸错开一个角度b呢，也就是使用V2的构型？当然可以。不过我们得先补充一些关于坐标系的约定。为了方便起见，我们把y轴设定在＃1汽缸的方向上，＃2汽缸则和y轴相差一个角度b（这个角度其实也就是汽缸夹角）。x轴的定义还是和z轴、y轴都正交的方向。请注意了，汽缸夹角b可不一定和曲柄夹角a相等啊。
先看力的平衡。＃1汽缸产生的振动力还是沿着y轴的方向：
F11x = 0 （23）
F11y = m*r*w^2*cos(w*t) (24)
F21x = 0 （25）
F21y = m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （26）
而＃2汽缸的振动力如何表达呢，我们同样可以把它们沿x轴和y轴分解。不过这里要注意一下相位，如果曲柄夹角a恰好于汽缸夹角b相等，两列汽缸则正好处于相同的相位，因此我们可以得到如下表达式：
F12x = m*r*w^2*cos(w*t+a-b)*sin(b) （27）
F12y = m*r*w^2*cos(w*t+a-b)*cos(b) （28）
F22x = m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a-b))*sin(b) （29）
F22y = m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a-b))*cos(b) （30）
合并上述振动量：
F1x = F11x+F12x = m*r*w^2*cos(w*t+a-b)*sin(b) （31）
F1y = F11y+F12y = m*r*w^2*(cos(w*t)+cos(w*t+a-b)*cos(b)) （32）
F2x = F21x+F22x = m*((r*w)^2/c)*cos(2*(w*t+a-b))*sin(b) （33）
F2y = F21y+F22y = m*((r*w)^2/c)*(cos(2*w*t)+cos(2*(w*t+a-b))*cos(b)) （34）
由于F1x和F1y是正交的，所以它们的合力F1的数值f1以及作用方向a1可以表述成：
f1 = (|F1x|^2+|F1y|^2)^0.5 （35）
a1 = arctg(|F1y|/|F1x|) （36）
展开：
f1 = m*r*w^2*(cos(w*t+a-b)^2+cos(w*t)^2+2*cos(w*t)*cos(w*t+a-b)*cos(b))^0.5 （37）
a1 = arctg((cos(w*t)+cos(w*t+a-b)*cos(b))/(cos(w*t+a-b)*sin(b))) （38）
同理可得二阶振动力的数值：
f2 = m*((r*w)^2/c)*(cos(2*(w*t+a-b))^2+cos(2*w*t)^2+2*cos(2*w*t)*cos(2*(w*t+a-b))*cos(b))^0.5 （39）
a2 = arctg((cos(2*w*t)+cos(2*(w*t+a-b))*cos(b))/(cos(2*(w*t+a-b))*sin(b))) （40）
实际上，上述公式我们可以推算出，对于典型的V2引擎，无论一阶还是二阶的振动力都是天然存在的，不过具体的振幅，不过超过360度曲轴的直列2缸机。
我们来看些具体的例子，先看意大利Ducati等摩托车厂常用俩汽缸共用一个曲柄销（也就是曲柄夹角a = 0），汽缸夹角为90度的设计（b = 90）。代入（37）－（40），并利用一下相关的三角公式：
f1 = m*r*w^2 （41）
a1 = 90-w*t （42）
f2 = 1.4142*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （43）
a2 = -45 （44）
从（41）－（44）我们可以得出：对于这种90度夹角，俩缸共用曲柄销的V2来说，一阶振动力大小恒等于排量为其一半的单缸机的极值，方向是与曲轴旋转同步变化的（就好比一个表针那样不断画着圆圈）。这样，我们同过加装曲轴配重，就可以很方便的做到完全的一阶平衡，而不需要担心像单缸机那样打死了狼却引来了老虎（因为对于这样的V2，配重产生的振动力无论大小和方向都可以正好与活塞的一阶振动力相抵消）。至于二阶振动，则没这么容易完全消除，但是至少比360度曲轴的直列2缸机好很多（确切的说，是其0.7071倍）。
再看看力矩平衡，如果按前面的分析，一台90度V2的一阶振动力被完全抵消掉，引擎的主要振动力就只有较小的二阶量了。但是如果我们从侧面观察它，俩只汽缸不可能完全重合（那样的话两只连杆就要打架了：），这样一来，还是会产生一个小小的力偶。如果我们把这台V2正立（就是两列汽缸和竖直方向夹角为+/-45度），它的二阶振动力的方向根据（44）式，就应该是水平方向的了，所以力矩的不平衡会导致引擎在水平面内扭动。不过因为力臂很小，二阶振动力也相对较小，这个力矩不平衡问题应该也不是主要矛盾。至于点火频率和活塞的动能变化，它的情况和270度曲轴直列2缸机类似，但和它相比，由于一阶振动容易消除（就算不用配重消除，其最大振动力也要小于270度曲轴直列2缸机的情况），总体上还是更容易提供好得多的平顺性。
其它的V2设计还有很多，比如a = 75，b = 45（如某些Suzuki摩托车型），或者 a = 0，b = 60（比如意大利Aprilia的一些摩托车型），或者 a = 76，b = 52（比如Honda
的一些摩托车型）??，但是它们内在的平衡特性都没有前述90度V2优越，往往是出于尺寸限制或者纯性能方面的考虑的结果。对这些机型暂且就不一一分析了。
总结一下就是，相比直列2缸引擎，V2，尤其是90度夹角共用曲柄销的机型，可以提供更好的平顺性。但是它仍然不能同时消除一阶和二阶振动，并且会有轻微的力矩不平衡造成的扭动，点火通常也不均匀。对于一般的汽车应用来说，还是显得太过粗糙，加上缸数太少，几乎不再出现于汽车领域中了。
水平对置2缸：
借用一下（37）、（39）式，如何才能使得V2引擎平顺性最优化呢？90度夹角还不是最终答案。其实仔细观察这俩个公式，只要增加汽缸夹角b到180度，曲柄夹角也设为180度，f1、f2就奇迹般地消失无踪了。完全没有了，两台汽缸产生的振动力完全对冲了。从力的平衡角度，这就是传说的自然平衡系统啦。 从点火频率的角度，它也可以做到完全的均匀点火，厉害吧？ BMW的摩托车就惯用这样的机型。
不过水平对置2缸也并非完美的构型，和V2一样，由于俩只汽缸实际上必须前后错开一些，这就带来了力矩不平衡的隐患。在90度V2上，导致力偶的主要是数值很小的二阶振动力，因为一阶力可以用加曲轴配重的方法抵消掉。但是对于水平对置2缸机，造成振动力偶的实际上是活塞带来的全部振动力，这样的力偶实际上要大得多。有人问了，刚才不是说振动力全对冲了，没有了吗？那时只考虑平动得情况下。当我们考虑转动时，俩只活塞产生得振动力虽然大小相等，方向相反，但却并非作用在同一点，所以谈到力矩平衡，它们不但没有对冲，而且还形成了相当强的力偶。这样，尽管俩个汽缸错开的距离并不大，比如只有两英寸，但是这种水平对置2缸机在水平面内的扭动要比V2明显得多。这样得力矩不平衡还不容易矫正（回忆一下我们分析单缸机和360度曲轴直列2缸机时的情景，靠曲轴配重是无法完全修复这种永远只作用在一条直线上的力造成的后果的）。
上面提到的力矩不平衡还不是水平对置2缸机唯一的弱点。和360度曲轴直列2缸机一样，它的俩个活塞在汽缸中的位置也是永远相同的，这样就造成了活塞总动能变化明显的问题，因此，尽管它点火均匀，但是仍然需要重飞轮来保证稳定的怠速。
哎，看来双缸是怎么也没法做到特别的平顺喽：（
直列3缸：
继续增加一个汽缸，到3缸机了。一般来说，V型构型或者水平对置都需要有偶数个汽缸，所以直列几乎是3缸机的必然选择。剩下的问题就是曲柄间的角度了。从尽可能地均匀点火的角度来说，3个汽缸，4冲程，就应该是1.5次／360度，也就是说，3个活塞的曲柄均匀岔开，依次间隔240度（或者说120度）。这样从正面看过去，曲轴像是个三叉星。
现在来看力的平衡。受（19）、（20）式的启发，我们容易得到上述式样的直列3缸机的振动力：
F1 = m*r*w^2*(cos(w*t)+cos(w*t+240)+cos(w*t+480)) （45）
F2 = m*((r*w)^2/c)*(cos(2*w*t)+cos(2*(w*t+240))+cos(2*(w*t+480))) （46）
利用一下三角知识不能看出，上式最终化简的结果是：
F1 = 0 （47）
F2 = 0 （48）
三个汽缸的一阶振动力、二阶振动力都神奇的互相抵消了！
不过先别急，还有力矩平衡没有考虑呢。从侧面观察这个引擎，假设其质心在正中，＃2汽缸的中心线正好穿过它，我们就以这里作为参考系的原点，则＃1、＃3活塞产生的振动力都距离原点颇远，其力臂均为一个汽缸中心间距d。不难算出，三个汽缸受到的合力矩为：
T = T1+T2+T3 = (F11+F21-F13-F23)*d （49）
其中F11、F21分别为＃1汽缸的一阶和二阶振动力，F13、F23则为＃3汽缸的振动力。展开然后化简可得：
T = 1.7321*m*r*w^2*d*(cos(w*t-30)+(r/c)*cos(2*w*t+30)) （50）
也就是说，振动力偶也包含一阶和二阶俩个成分，但是一阶量要远大于二阶量。
最后再看曲轴动能变化。均匀点火，三个活塞在汽缸中的位置完全岔开，不用精确的分析我们也能猜到，动能变化不会是个大问题，所以不需要重飞轮。当然，这样说只是相对于其缸数来说的。即便点火均匀，三缸毕竟有限，点火频率只有1.5次／360度，和缸数更多的引擎来比，当然它的动能变化还是较大的，运转的稳定性也要逊色了。
概括起来，直列3缸机无论一阶还是二阶力平衡都可以自然满足，系统的动能相对也较为稳定。但是，它在力矩方面是不平衡的，由此会造成前、后端的端到端的俯仰运动。那么如何矫正呢？一个直接的想法是使用曲轴配重，这样配重因为运动方向总是和活塞相对，所以可以产生一个一阶力，＃1、＃3汽缸合在一起，就可产生一对一阶的力偶，正好抵消掉活塞产生的一阶振动力偶。然而，我们前面已经遇到过这样的问题：这样的配重会产生副作用——x轴方向上的振动力分量。常见的直列3缸引擎（不用举例了吧？微型车上用的多得是：），大多都使用这样一种解决方案：增加一条和曲轴转速相同但方向相反的平衡轴。它的两头各有一块配重。如此一来，它和曲轴配重产生的x轴方向上的振动力正好相抵了，y轴（也就是汽缸的朝向）上的合力友可以正好获得一个一阶的力偶去抵消活塞产生的一阶振动力偶。如此一来，世界就清净了许多了。不过呢，二阶的振动力偶虽然较小，可是却不能轻易去除了。增加更多的平衡轴就会使得引擎过于复杂，那还不如增加一个汽缸呢??:~(
直列4缸：
3缸＋1缸，我们现在说到了直列4缸。这也是当前最为主流的引擎构型之一了吧。还是从均匀点火的角度出发，4冲程4缸机应该是2次／360度，也就是说，曲轴每转180度有一个汽缸点火。一台直列4缸机为了实现上述构想，就必然在任意时刻，总是有俩个活塞在汽缸中处于相同的位置，另外俩个也相同，并且总和第一对活塞相对。有了分析3缸机的力矩平衡时的教训，我们很容易想到，对于直列4缸机，如果我们让＃1、＃4活塞位置相同，＃2、＃3相同，也就是说让引擎首尾两端完全对称，那么就可以达成完全的力矩平衡（无论一阶还是二阶）。这样实际上就相当于把两台180度曲轴的直列2缸机串在一起了，所以我们不用计算也能猜到，这个系统的一阶振动力也是内在平衡的（见前面关于2缸机的分析）。现在唯一的问题就是二阶力的平衡了，根据（22）式，我们容易得出：
F2 = 4*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t) （51）
单就二阶振动力来讲，直列4缸机和单缸机、180度曲轴直列2缸机一样的糟糕！我们前面分析过，二阶振动力数值上本来是不大的，但是现在4个汽缸合起来也是不得了的。所以呢，排量较小的直列4缸机还可以忍了，排量较大的话，就必须要矫正一下了。
如何修正？通常的办法就是，设两根双倍于曲轴转速的平衡轴，让它们对转。这样，平衡轴上设置的配重就会产生振动力，变化频率正好是俩倍于曲轴的。因为这对平衡轴是对转的，所以它们产生的x轴向上的振动力分量就互相抵消了，而y轴上的分量呢？正好与活塞产生的二阶振动力抵消。
最后一个问题，活塞动能变化。根据我们对180度曲轴直列2缸机的相关分析，这个问题在于直列4缸机应该不严重。
总上所述，直列4缸机可以做到均匀点火，活塞总动能变化也不明显，无论一阶还是二阶的力矩都可以自然平衡，一阶力平衡也是它的内在属性，唯一一点问题就是没有二阶力的平衡。不过这个问题可以通过双倍速对转的双平衡轴系统克服。我们前面从单缸分析到4缸，这多的机型，迄今为止，使用这样双平衡轴的直列4缸机还是第一种（经过矫正后）没有任何主要的导致振动的因素的机型了。
V4：
当代的汽车已经不再使用V4了，只有摩托车上还时常可以见到。让我们找找原因吧。首先还是先满足均匀点火的条件。可以想像，这样的引擎也不难设计，每列俩个汽缸都正好相差180度相位（就类似一个180度曲轴的直列2缸机）。显然，两列汽缸间的夹角要与曲柄夹角相等（a = b）。根据180度曲轴直列2缸机的特性我们可以推出，这样的一台V4必然能够满足一阶力的平衡。沿用我们对V2的分析方法来看看二阶力，可以推导出：
f2 = 2.8284*m*((r*w)^2/c)*cos(2*w*t)*(1+cos(b))^0.5 （52）
a2 = arctg((1+cos(b))/sin(b)) （53）
如果上述分析正确的话，由（52）式，汽缸夹角b为90度时二阶振动力最小（小于相同排量的直列4缸机），方向为竖直方向（假定该V4左右对称放置）。也就是说这样的V4机类似直列4缸机，一阶力平衡，二阶不平衡，但振动小于后者。如果一定要矫正这种二阶振动力的话，方法也是同直列4缸一样的。
然而真正麻烦得在于力矩的平衡，前面描述的构型是不可能像直列4缸机那样做到首尾对称的，于是力矩平衡被打破了。和直列3缸机一样，一阶、二阶的力偶都存在。如果如前所述，使用双平衡轴矫正二阶力，仍然还会剩下一阶力产生的力偶，引擎会因此出现波动于两列汽缸间扯动。实际上，这个一阶力偶造成的振动比前面说的二阶力的不平衡造成的影响可能更严重。所以实际应用的V4往往使用一根单倍速平衡轴来矫正它，但是二阶力（及力矩）的不平衡就不去管它了，总不能三根平衡轴同上吧？如此一来，大家知道为什么在汽车上直列4缸会完全打败V4，一同天下了吧？
至于其它的方面，我也懒得分析了。总之就是，V4引擎力矩不平衡，二阶力也不平衡，彻底矫正代价很大。目前只在摩托车领域流行，主要是结构紧凑。具体到不同的机型，由于尺寸的原因，各种汽缸夹角都可能被采用。并且往往为了简化曲轴设计，沿用共用曲柄销的方式，那样的话还会有点火不均匀的问题??，总之就是汽车界它肯定是混不下去的。
水平对置4缸：
前面分析水平对置2缸机的时候，我们已经知道它在力的平衡方面是完美的。水平对置4缸机也同样继承了这一点（你可以把它看作两台水平对置2缸机串联）。但是大家可能还记得，水平对置2缸由于两个汽缸不可能完全对称，会造成一定的力矩不平衡，由此会带来一种水平面内的扭动。水平对置4缸机这个问题则可以得到改善，因为我们可以让前后两对活塞在汽缸内的位置相差180度相位。没看懂？好吧，我们假定前面一对活塞分别为＃1、＃2，后面为＃3、＃4，＃1、＃3在左侧，＃2、＃4在右侧。＃1和＃2，＃3和＃4，肯定活塞位置是相同的（就好比水平对置2缸机的情况），然后我们让＃1和＃3之间，＃2和＃4之间差上180度。根据力矩的分析（这里我忽略过程了，反正方法都和前面大同小异），好消息：前后两对活塞产生的一阶力偶相互抵消了；坏消息：（较小的）二阶力偶加倍了。也就是说，水平对置4缸机会有力矩不平衡造成的二阶振动。这个振动和水平对置2缸的形式相似，不过因为只剩下二阶量，振动幅度小得多，所以通常不需要矫正。
水平对置2缸机的另外一个问题，也就是活塞动能变化的问题，在水平对置4缸机上也因为前述的构型而得到了改善（和直列4缸的情况基本类似）。不过顺带提一下，前述的构型一个问题是每列的两个汽缸是相继点火完后才抡到另外一列。这样排气方面会带来额外的一些问题，也会影响到引擎的NVH特性，不过我们这里就不深究了。
总之，水平对置4缸机是目前为止我们讨论的所有引擎中，最为接近完全自然平衡的系统了，可惜二阶力矩平衡方面差了一点点。
直列5缸：
如果汽缸数增加到5缸，点火均匀的话就是2.5次／360度，即曲轴每旋转144度就有一个汽缸点火，这对于4缸机有一个很大的好处。我们知道，往复活塞式4冲程
内燃机每个冲程相当于曲轴旋转180度，而4缸机点火间隔正好是180度，也就是说任意时刻，仅有一个汽缸处于做功冲程，输出扭矩，彼此之间绝无重叠。而实际上做功的高峰期还远覆盖不了整个180度。换句话说，当某个汽缸处于压缩冲程末期时（实际上由于点火提前角的存在，此时该汽缸已经点火了，但这时燃烧室内的压力是要阻止引擎运转的，而不是推动），却没有任何汽缸处于大幅输出扭矩的状态，这时引擎实际上是靠惯性运转的，也就是说，4缸往下，从这种角度来说，需要的飞轮都是偏重的。但自5缸机起，这个问题就得到了明显改观。
常见的直列5缸机点火顺序是1－3－5－4－2，也就是＃1、＃3、＃5、＃4、＃2汽缸之间曲柄夹角分别为144度。这样整个曲轴从正面看像个五叉星。套用我们对直列3缸机的分析，直列5缸机的一阶、二阶振动力也是恰好都互相抵消了，内在的力的平衡！
然而直列5缸机和直列3缸机类似，也是首尾不对称的，这样就会带来力矩不平衡的问题，仿照我们前面对直列3缸机的分析，直列5缸机的振动力偶为：
T = m*r*w^2*d*(0.45*cos(w*t+54)+4.75*(r/c)*cos(2*w*t-4.4)) （54）
这就有点麻烦了，以常见的r/c值估计，这个二阶力偶也不比一阶力偶小了。你说你矫正哪一个吧？我倒是看到过一个专利介绍，可以矫正这种二阶力偶造成的端到端的俯仰运动，也是类似直列4缸机的那种双平衡轴，而一阶力偶呢，则另外需要一根单平衡轴（类似我们前面说的直列3缸机用的那种）。三根平衡轴同上九太复杂了，所以常见的直列5缸机就是只用一根单倍速平衡轴去除一阶振动。由此还要忍受不算小的二阶端到端振动。从这个角度讲，还不如加了平衡轴的直列4缸机来得平顺呢。
总之，比较排量相近的直列4缸和5缸机，5缸机在点火频率方面有优势，但是它的振动比4缸机更难矫正，所以现实中没听说谁讲哪台直列5缸机特别平顺吧？那样说只能是睁眼说瞎话。另外提一下，VW的VR5，那个我就不具体分析了，你可以把它看作直列5缸机的近似，具体的力学特性还不如标准的直列5缸呢。总而言之，平顺性不理想应该也是5缸机不很流行的一个重要原因吧？
直列6缸：
知道很多人特别关心直列6缸和V6之争。前端时间还冒出“专家”说V6比直列6缸机平顺，我们现在就来看一下“专家”是如何颠倒黑白的。
其实直列6缸太好分析了，把两台直列3缸串联起来，让它们严格首尾对称，不难吧？由前面对直列3缸机的分析，很明显，直列6缸机也必然是无论一阶还是二阶，天然就能达成力的平衡。而它和直列3缸不同的是，它严格首尾对称，所以天然就能做到力矩的平衡（无论一阶还是二阶）。我们知道，它的活塞总动能应该也不会出大问题，均匀点火更是太容易了，3次／360度，点火间隔120度，显著短于4冲程引擎的单个冲程。
上述特性结合在一起，这是什么？这是我们迄今分析的所有引擎中第一个不需要任何矫正就没有任何平顺性问题的自然平衡体系啊！
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